Câu 4.57 trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 4.57 trang 112 SBT Đại số 10 Nâng cao

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:

 

LG a

\({x^2} - 4{ {x + }}m - 5\)

 

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\Delta ' = 4 - \left( {m - 5} \right) = 9 - m\) và tam thức có \(a = 1 > 0\). Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \(\Delta ' = 9 - m < 0 \Leftrightarrow m > 9.\)

 

LG b

\({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8\,m + 1\)

 

Lời giải chi tiết:

Tam thức đã cho có biệt thức

\(\Delta  = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) \)

\(= {m^2} - 28m= m\left( {m - 28} \right)\) và \(a = 1\).

Tam thức luôn dương khi và chỉ khi:

\(\Delta  = m\left( {m - 28} \right) < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 28.\)

 

LG c

\({x^2} + 4{ {x}} + {\left( {m - 2} \right)^2}\)

 

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\Delta ' = 4 - {\left( {m - 2} \right)^2} =  - {m^2} + 4m\) và hệ số \(a = 1\). Tam thức luôn dương khi và chỉ khi \(\Delta  =  - {m^2} + 4m < 0 \Leftrightarrow m > 4\) hoặc \(m < 0\).

 

LG d

\(\left( {3m + 1} \right){x^2} - \left( {3m + 1} \right)x + m + 4.\)

 

Lời giải chi tiết:

*) Nếu \(3m + 1 = 0\) thì \(m =  - \dfrac{1}{3}.\) Khi đó biểu thức luôn dương với mọi \(x\).

*) Nếu \(m \ne  - \dfrac{1}{3}\) thì tam thức đã cho có biệt thức

\(\begin{array}{l}\Delta  = {\left( {3m + 1} \right)^2} - 4\left( {m + 4} \right)\left( {3m + 1} \right)\\ = \left( {3m + 1} \right)\left( { - m - 15} \right)\\ =  - 3{m^2} - 46m - 15\\ =  - \left( {3{m^2} + 46m + 15} \right).\end{array}\)

Tam thức luôn dương khi và chỉ khi

\(\eqalign{& \left\{ \matrix{a = 3m + 1 > 0 \hfill \cr \Delta < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > {{ - 1} \over 3} \hfill \cr \left( {3m + 1} \right)\left( {m + 15} \right) > 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\left( * \right) \cr} \)

\(\Leftrightarrow m >  - {1 \over 3}\) hoặc \(m <  - 15\)

Kết hợp với (*) suy ra \(m >  - \dfrac{1}{3}.\) Tóm lại với \(m \ge  - \dfrac{1}{3}\) thì biểu thức luôn dương với mọi \(x\).

Loigiaihay.com

 

Quảng cáo
close