Câu 4.2 trang 102 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 4.2 trang 102 SBT Đại số 10 Nâng cao.

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng

LG a

\({a^4} + {b^4} \ge {a^3}b + a{b^3}\) với mọi a, b ∈ R.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{a^4} + {b^4} - {a^3}b - a{b^3}\\ = {a^3}\left( {{\rm{a}} - b} \right) + {b^3}\left( {b - a} \right)\\ = \left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{{\rm{a}}^3} - {b^3}} \right)\\ = {\left( {{\rm{a}} - b} \right)^2}\left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + ab} \right) \ge 0.\end{array}\)

(Vì \({a^2} + {b^2} + ab = {\left( {{\rm{a}} + \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\) và \({\left( {{\rm{a}} - b} \right)^2} \ge 0\) với mọi a, b ∈ R)

LG b

\({\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\) với mọi a, b, c ∈ R.

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2} + 2{\rm{a}}b + 2{\rm{a}}c + 2bc \le 3{{\rm{a}}^2} + 3{b^2} + 3{c^2}\\ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{\rm{a}} - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}\)

Bất đẳng thức (2) luôn đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh.

Loigiaihay.com

Quảng cáo
list
close
Gửi bài Hỏi bài