Câu 4.6 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 4.6 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao.

Quảng cáo

Đề bài

Cho a, b, c, d là bốn số dương. Chứng minh rằng

\(1 < \dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} < 2.\)

Lời giải chi tiết

Do a, b, c, d là các số dương nên

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{a + b + c}} > \dfrac{a}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\\\dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} > \dfrac{b}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\\\dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} > \dfrac{c}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\\\dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} > \dfrac{{\rm{d}}}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\end{array}\)

Cộng vế với cế của các bất đẳng thức trên, ta suy ra

\(\dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} > 1\)

Lại có \(\dfrac{a}{{a + b + c}} < \dfrac{a}{{a + c}};\dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} < \dfrac{c}{{a + c}}\)

Nên \(\dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} < 1.\)

Tương tự \(\dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} < 1.\) Từ đó suy ra

\(\dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} < 2\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close