Câu 4.6 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 4.6 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao.

Quảng cáo

Đề bài

Cho a, b, c, d là bốn số dương. Chứng minh rằng

\(1 < \dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} < 2.\)

Quảng cáo
decumar

Lời giải chi tiết

Do a, b, c, d là các số dương nên

\(\begin{array}{l}\dfrac{a}{{a + b + c}} > \dfrac{a}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\\\dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} > \dfrac{b}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\\\dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} > \dfrac{c}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\\\dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} > \dfrac{{\rm{d}}}{{a + b + c + {\rm{d}}}}\end{array}\)

Cộng vế với cế của các bất đẳng thức trên, ta suy ra

\(\dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} > 1\)

Lại có \(\dfrac{a}{{a + b + c}} < \dfrac{a}{{a + c}};\dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} < \dfrac{c}{{a + c}}\)

Nên \(\dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} < 1.\)

Tương tự \(\dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} < 1.\) Từ đó suy ra

\(\dfrac{a}{{a + b + c}} + \dfrac{b}{{b + c + {\rm{d}}}} + \dfrac{c}{{c + {\rm{d}} + a}} + \dfrac{{\rm{d}}}{{d + a + b}} < 2\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

close