Câu 4.8 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 4.8 trang 103 SBT Đại số 10 Nâng cao.

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho a, b, c là số đo ba cạnh ; A, B, C là số đo (độ) ba góc tương ứng của một tam giác. Chứng minh rằng :

LG a

\(\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{\rm{A}} - B} \right) \ge 0\) ; khi nào đẳng thức xảy ra ?

Phương pháp giải:

(Gợi ý. Sử dụng bất đẳng thức tam giác).

Lời giải chi tiết:

Áp dụng mối liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, ta có :

Nếu \(a ≥ b\) thì \(A ≥ B\) ;

Nếu \(a ≤ b\) thì \(A ≤ B\) ;

Vì vậy luôn có \(\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{\rm{A}} - B} \right) \ge 0,\) đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b (A = B), tức là tam giác ABC cân tại C.

LG b

 \(60^\circ  \le \dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} < 90^\circ \) ; khi nào đẳng thức xảy ra ?

Phương pháp giải:

(Gợi ý. Sử dụng bất đẳng thức tam giác).

Lời giải chi tiết:

Theo câu a. ta có

\(\begin{array}{l}\left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{\rm{A}} - B} \right) + \left( {b - c} \right)\left( {B - C} \right) + \left( {c - a} \right)\left( {C - A} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow aA + bB + cC - bA - aB - bB - cB - bC + cC - aC - cA + aA \ge 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {{\rm{a}}A + bB + cC} \right) - \left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\left( {{\rm{A}} + B + C} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} \ge \dfrac{{A + B + C}}{3} = 60^\circ .\end{array}\)

Đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi A = B = C, tức là tam giác ABC là tam giác đều.

Lại có

\(a + b > c;b + c > a;c + a > b\) nên \(aA + bB + cC < \left( {b + c} \right)A + \left( {c + a} \right)B + \left( {{\rm{a}} + b} \right)C\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {{\rm{a}}A + bB + cC} \right) < \left( {{\rm{A}} + B + C} \right)\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)\)

Từ đó suy ra \(\dfrac{{aA + bB + cC}}{{a + b + c}} < 90^\circ \)

Loigiaihay.com

Quảng cáo
list
close
Gửi bài Hỏi bài