Câu 3.19 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng caoGiải bài tập Câu 3.19 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao Quảng cáo
Đề bài Giả sử \({x_1},{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \({x^2} + 2mx + 4 = 0.\) Hãy tìm tất cả các giá trị của m để có đẳng thức : \({\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + \left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right) = 3\) Lời giải chi tiết \(m = \pm \sqrt {2 + \sqrt 5 } .\) Gọi ý. Điều kiện để phương trình có nghiệm là : \(\Delta ' = {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge 2.\) Theo định lí Vi-ét, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = - 2m}\\{{x_1}{x_2} = 4}\end{array}} \right.\) Nên \({\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = \dfrac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2x_2^2}}\) \(= \dfrac{{{{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2}}}{{x_1^2x_2^2}} - 2 \\= \dfrac{{{{\left( {4{m^2} - 8} \right)}^2}}}{{16}} - 2\) Ta có: \({\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = 3 \\\Leftrightarrow {\left( {4{m^2} - 8} \right)^2} = 80\) \(\Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 2} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {m^2} = 2 + \sqrt 5\) \( \Rightarrow m = \pm \sqrt {2 + \sqrt 5 } .\) Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \(|m| ≥ 2\). Loigiaihay.com
Quảng cáo
|