tuyensinh247

Câu 3.19 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao

Giải bài tập Câu 3.19 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Giả sử \({x_1},{x_2}\) là các nghiệm của phương trình \({x^2} + 2mx + 4 = 0.\)

Hãy tìm tất cả các giá trị của m để có đẳng thức :

\({\left( {\frac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + \left( {\frac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right) = 3\)

Lời giải chi tiết

\(m =  \pm \sqrt {2 + \sqrt 5 } .\) Gọi ý. Điều kiện để phương trình có nghiệm là :

\(\Delta ' = {m^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left| m \right| \ge 2.\)

Theo định lí Vi-ét, ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} =  - 2m}\\{{x_1}{x_2} = 4}\end{array}} \right.\)

Nên \({\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = \dfrac{{x_1^4 + x_2^4}}{{x_1^2x_2^2}}\)

\(= \dfrac{{{{\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2}} \right]}^2}}}{{x_1^2x_2^2}} - 2 \\= \dfrac{{{{\left( {4{m^2} - 8} \right)}^2}}}{{16}} - 2\)

Ta có: \({\left( {\dfrac{{{x_1}}}{{{x_2}}}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{{{x_2}}}{{{x_1}}}} \right)^2} = 3 \\\Leftrightarrow {\left( {4{m^2} - 8} \right)^2} = 80\)

\(\Leftrightarrow {\left( {{m^2} - 2} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {m^2} = 2 + \sqrt 5\)

\(  \Rightarrow m =  \pm \sqrt {2 + \sqrt 5 } .\)

Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \(|m| ≥ 2\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close