Câu 3.20 trang 61 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

Tìm tất cả các giá trị của a để hiệu hai nghiệm của phương trình sau bằng 1

\(2{x^2} - \left( {a + 1} \right)x + a + 3 = 0\)

Lời giải chi tiết

\(a \in \left\{ { - 3;9} \right\}.\) Gợi ý. Điều kiện để phương trình có nghiệm là

\(\Delta  = {\left( {a + 1} \right)^2} - 8\left( {a + 3} \right) \ge 0\)

\(\Leftrightarrow {a^2} - 6a - 23 \ge 0.\)        (*)

Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là \({x_1},{x_2}\) (giả sử \({x_2} > {x_1}\))

Theo định lí Vi-ét ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \dfrac{{a + 1}}{2}}\\{{x_1}{x_2} = \dfrac{{a + 3}}{2}.}\end{array}} \right.\)

Do \({x_2} - {x_1} = 1\) nên \({\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 1,\) suy ra

\(\dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{4} - 2\left( {a + 3} \right) = 1\)

\(\Leftrightarrow {a^2} - 6a - 27 = 0\)

\(\Leftrightarrow a = 9\) hoặc \(a =  - 3\)

Rõ ràng cả hai giá trị này đều thỏa mãn (*) vì \({a^2} - 6a - 23 = 4 > 0.\)

Loigiaihay.com