Bài 2 trang 141 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Cho hai dãy số $(u_n)$ và $(v_n)$. Biết $|u_n– 2| ≤ v_n$ với mọi $n$ và $\lim v_n=0$. Có kết luận gì về giới hạn của dãy số $(u_n)$?

Lời giải chi tiết

Vì $\lim v_n=0$ nên $|{v_n}|$ nhỏ hơn một số dương $\varepsilon$ bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Nghĩa là $|{v_n}| < \varepsilon$ kể từ một số hạng nào đó trở đi.

⇒ $|{u_n}-2| \le {v_n} \le |{v_n}| < \varepsilon$ hay $|{u_n}-2| < \varepsilon$ bé tùy ý kể từ một số hạng nào đó trở đi.

⇒ $\lim ({u_n}-2) = 0$ (theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0)

⇒ $\lim {u_n} = 2$.

Cách khác:

Có thể sử dụng định lý giới hạn kẹp như sau:

Với mọi $n ∈ \mathbb N^*$ , ta có: $|u_n– 2| ≤ v_n⇔ -v_n ≤ u_n– 2 ≤ v_n$

Mà $\lim (-v_n) = \lim (v_n) = 0$ nên $\lim (u_n– 2) = 0$ $⇔ \lim u_n – \lim 2 = 0$ $⇔ \lim u_n= 2$.

 Loigiaihay.com