Bài 1.78 trang 26 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Giải bài 1.78 trang 26 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Một hình chóp với tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính a...

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Một hình chóp với tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu bán kính a

LG a

Chứng minh rằng thể tích của hình chóp là

\(V = {{4{a^2}{x^2}} \over {3(x - 2a)}}.\)

Trong đó x là chiều cao của hình chóp.

Phương pháp giải:

Mặt phẳng đi qua đường cao SH của hình chóp và trung điểm M của một cạnh đáy cắt hình chóp theo tam giác cân SMN và cắt hình cầu theo tâm O bán kính a nội tiếp tam giác SMN.

Có thể tính thể tích hình chóp theo x và  \(\alpha  = \widehat {SNH}\).

Sau đó sử dụng đẳng thức  \(x = a + {\rm{OS}}\) để tìm hệ thức giữa a, x và \(\alpha \).

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng đi qua đường cao SH của hình chóp và trung điểm M của một cạnh đáy cắt hình chóp theo tam giác cân SMN và cắt hình cầu theo tâm O bán kính a nội tiếp tam giác SMN.

Ta có \(HN = x\cot \alpha ;MN = 2x\cot \alpha \).

Thể tích hình chóp là \(V = {1 \over 3}M{N^2}.SH = {4 \over 3}{x^3}{\cot ^2}\alpha \)

Ta tính \({\cot ^2}\alpha \) theo a và x.

Từ đẳng thức SH = OH + OS ta có \(x = a + {a \over {{\rm{cos }}\alpha }}\); do đó  \({\rm{cos }}\alpha  = {a \over {x - a}}\)

\({\sin ^2}\alpha  = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha \)

\(= 1 - {{{a^2}} \over {{{\left( {x - a} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 2ax} \over {{{\left( {x - a} \right)}^2}}}\)

\({\cot ^2}\alpha  = {{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha }} = {{{a^2}} \over {x{{\left( {x - 2a} \right)}^2}}}\)

Từ đó suy ra công thức cần chứng minh.

 

LG b

Với giá trị nào của x,hình chóp có thể tích là nhỏ nhất ?

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}V\left( x \right) = \frac{{4{a^2}{x^2}}}{{3\left( {x - 2a} \right)}}\\V'\left( x \right) = \frac{4}{3}.\frac{{2{a^2}x\left( {x - 2a} \right) - {a^2}{x^2}}}{{{{\left( {x - 2a} \right)}^2}}}\\ = \frac{4}{3}.\frac{{{a^2}{x^2} - 4{a^3}x}}{{{{\left( {x - 2a} \right)}^2}}}\\V'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {a^2}{x^2} - 4{a^3}x = 0\\ \Leftrightarrow {a^2}x\left( {x - 4a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 4a\left( {do\,x > 2a} \right)\end{array}\)

Lập BBT suy ra hàm số \(V\left( x \right)\) đạt GTNN tại \(x = 4a\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo
list
close
Gửi bài