Bài 1.12 trang 12 SBT Giải tích 12 Nâng cao

Giải bài 1.12 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao. Cho hàm số ...

Tổng hợp đề thi giữa kì 2 lớp 12 tất cả các môn

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hàm số \(f(x) = {\sin ^2}x + cosx\)

LG a

Chứng minh rằng hàm số  đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;{\pi  \over 3}} \right]\) và nghịch biến trên đoạn \(\left[ {{\pi  \over 3};\pi } \right]\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

Ta có:                     

\(f'(x) = 2\sin x\cos x - {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}x\)

\( = \sin x(2\cos x - 1),x \in \left( {0;\pi } \right)\)

Vì khi đó sinx > 0 nên

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = {\pi  \over 3}\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên đoạn \(\left[ {0;{\pi  \over 3}} \right]\) và nghịch biến trên đoạn \(\left[ {{\pi  \over 3};\pi } \right]\)

Quảng cáo
decumar

LG b

Chứng minh rằng với mọi \(m \in \left( { - 1;1} \right)\), phương trình

\({\sin ^2}x + cosx = m\)

có một nghiệm duy nhất thuộc đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\)

Lời giải chi tiết:

+) Hàm số f liên tục trên đoạn \(\left[ {0;{\pi  \over 3}} \right]\), \(f\left( {{\pi  \over 3}} \right) = {5 \over 4}\) và \(f(\pi) = -1\).

Theo định lí về giá trị trung bình của hàm số liên tục, với  mọi \(m \in \left( { - 1;1} \right) \subset \left( { - 1;{5 \over 4}} \right)\) tồn tại một số thực \(c \in \left( {{\pi  \over 3};\pi } \right)\) sao cho f(c) = 0.

Số c là nghiệm của phương trình trong b).

Vì hàm số f  nghịch biến trên \(\left[ {{\pi  \over 3};\pi } \right]\)nên trên đoạn này, phương trình có một nghiệm duy nhất.

+) Vì với mọi \(x \in \left( {0;{\pi  \over 3}} \right)\) ta có \(1 \le f(x) \le {5 \over 4}\) nên phương trình đã nêu không có nghiệm \(m \in \left( { - 1;1} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo
close