Bài 10 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11

Đề bài

Phương trình $2\tan x – 2 \cot x – 3 = 0$ có số nghiệm thuộc khoảng $({{ - \pi } \over 2},\pi )$ là:

A. $1$            B. $2$            C. $3$            D. $4$

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\eqalign{ & 2\tan x - 2\cot x - 3 = 0 \cr  & \Leftrightarrow 2\tan x - {2 \over {\tan x}} - 3 = 0 \cr  & \Rightarrow 2{\tan ^2}x - 3\tan x - 2 = 0 \cr  & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = 2 \hfill \cr  \tan x = {{ - 1} \over 2} \hfill \cr} \right. \cr}$

Vẽ đường tròn lượng giác với giá trị $tanx = 2$, $\tan x = {{ - 1} \over 2}$ ta thấy phương trình có ba nghiệm thuộc khoảng $({{ - \pi } \over 2},\pi )$.

Cách khác:

$\left[ \begin{array}{l} \tan x = 2\\ \tan x = - \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \arctan 2 + k\pi \\ x = \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi \end{array} \right.$

$\begin{array}{l} + ) - \frac{\pi }{2} < \arctan 2 + k\pi < \pi \\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} - \arctan 2 < k\pi < \pi - \arctan 2\\ \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan 2}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan 2}}{\pi }\\ \Rightarrow - 0,85 < k < 0,65\\ \Rightarrow k = 0\\ \Rightarrow x = \arctan 2\\ + ) - \frac{\pi }{2} < \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + k\pi < \pi \\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{2} - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) < k\pi < \pi - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{ - \frac{\pi }{2} - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi } < k < \frac{{\pi - \arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right)}}{\pi }\\ \Rightarrow - 0,35 < k < 1,15\\ \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\\ \Rightarrow x \in \left\{ {\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right);\arctan \left( { - \frac{1}{2}} \right) + \pi } \right\} \end{array}$

Vậy có ba nghiệm cần tìm.

Chọn đáp án C.

Loigiaihay.com