Bài tập 13 trang 157 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ $AH \bot BC(H \in BC)$ . Trên tia đối của tia HA ta lấy điểm M sao cho HM = HA.

a) Chứng minh rằng $\Delta ABH = \Delta MBH$

b) Gọi I là trung điểm của BC. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, đường kẻ này cắt tia AI tại D. Chứng minh rằng AB = DC.

c) Chứng minh rằng $\widehat {ACB} = \widehat {AMB}$

d) Chứng minh rằng BC // DM.

Lời giải chi tiết

 

a)Xét tam giác AHB và MHB có:

HA = HM (giả thiết)

$\widehat {AHB} = \widehat {MHB}( = {90^0})$

BH là cạnh chung.

Dó đó: $\Delta AHB = \Delta MHB(c.g.c).$

b) Ta có: $BA \bot AC$(tam giác ABC vuông tại A) và $DC \bot AC(gt)$

$\Rightarrow AB//CD \Rightarrow \widehat {ABI} = \widehat {DCI}$

Xét tam giác ABI và DCI có:

$\widehat {ABI} = \widehat {DCI}(cmt)$

BI = CI (I là trung điểm của BC)

Và $\widehat {AIB} = \widehat {DIC}$(hai góc đối đỉnh)

Do đó: $\Delta ABI = \Delta DCI(g.c.g)$

Suy ra : AB = CD.

c) Ta có: $\widehat {ACB} + \widehat {HAC} = {90^0}(\Delta AHC$vuông tại H)

$\eqalign{  & \widehat {BAH} + \widehat {HAC} = {90^0}(\widehat {BAC} = {90^0})  \cr  & \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {BAH} \cr}$

Mà $\widehat {BAH} = \widehat {BMH}(\Delta ABH = \Delta MBH)$   nên $\widehat {ACB} = \widehat {AMB}$

d) Cách 1:

Gọi O là giao điểm của BD và CM.

Xét tam giác MBC và DCB có:

BM = CD (=AB)

$\widehat {MBC} = \widehat {DCB}( = \widehat {ABH})$

BC là cạnh chung.

Do đó: $\Delta MBC = \Delta DCB(c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat {BCM} = \widehat {CBD}$

$\Rightarrow \widehat {BCM} = ({180^0} - \widehat {BOC}):2(1)$

Xét tam giác BDM và CMD có:

$BD = CM(\Delta MBC = \Delta DCB)$

BM = CD

MD là cạnh chung.

Do đó: $\Delta BDM = \Delta CMD(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat {BDM} = \widehat {CMD}$

$\Rightarrow \widehat {CMD} = ({180^0} - \widehat {MOD}):2(2)$

Mà $\widehat {BOC} = \widehat {MOD}(3)$ (đối đỉnh)

Từ (1), (2), (3) ta có: $\widehat {BCM} = \widehat {CMD}$

Mà góc BCM và CMD co le trong do đó: BC // DM.

Cách 2:

Gọi N là trung điểm của MD

Xét hai tam giác HAI và HMI có:

HA = HM (gt)

$\widehat {AHI} = \widehat {MHI}( = {90^0})$

IH là cạnh chung.

Do đó: $\Delta HAI = \Delta HMI(c.g.c) \Rightarrow IA = IM,\widehat {HAI} = \widehat {HMI}.$

Mà IA = ID $(\Delta ABI = \Delta DCI) \Rightarrow IM = ID$

Xét tam giác IMN và IDN có:

IM = ID

IN là cạnh chung

MN = DN (N là trung điểm của MD)

Do đó: $\Delta IMN = \Delta IDN(c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat {IMN} = \widehat {IDN}.$

Ta có:

$\widehat {HAI} + \widehat {IDN} = \widehat {HMI} + \widehat {IMN}$

$\Rightarrow \widehat {MAD} + \widehat {ADM} = \widehat {AMD}$

Tam giác AMD có: $\widehat {MAD} + \widehat {ADM} + \widehat {AMD} = {180^0}.$

Do đó: $\widehat {AMD} + \widehat {AMD} = {180^0}$

$\Rightarrow 2\widehat {AMD} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AMD} = {90^0} \Rightarrow AM \bot DM$

Ta có: $AM \bot BC;AM \bot DM.$   Vậy BC // DM.

Loigiaihay.com