Bài tập 13 trang 157 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1Giải bài tập Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ Quảng cáo
Đề bài Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ \(AH \bot BC(H \in BC)\) . Trên tia đối của tia HA ta lấy điểm M sao cho HM = HA. a) Chứng minh rằng \(\Delta ABH = \Delta MBH\) b) Gọi I là trung điểm của BC. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, đường kẻ này cắt tia AI tại D. Chứng minh rằng AB = DC. c) Chứng minh rằng \(\widehat {ACB} = \widehat {AMB}\) d) Chứng minh rằng BC // DM. Lời giải chi tiết
a)Xét tam giác AHB và MHB có: HA = HM (giả thiết) \(\widehat {AHB} = \widehat {MHB}( = {90^0})\) BH là cạnh chung. Dó đó: \(\Delta AHB = \Delta MHB(c.g.c).\) b) Ta có: \(BA \bot AC\)(tam giác ABC vuông tại A) và \(DC \bot AC(gt)\) \( \Rightarrow AB//CD \Rightarrow \widehat {ABI} = \widehat {DCI}\) Xét tam giác ABI và DCI có: \(\widehat {ABI} = \widehat {DCI}(cmt)\) BI = CI (I là trung điểm của BC) Và \(\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\)(hai góc đối đỉnh) Do đó: \(\Delta ABI = \Delta DCI(g.c.g)\) Suy ra : AB = CD. c) Ta có: \(\widehat {ACB} + \widehat {HAC} = {90^0}(\Delta AHC\)vuông tại H) \(\eqalign{ & \widehat {BAH} + \widehat {HAC} = {90^0}(\widehat {BAC} = {90^0}) \cr & \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {BAH} \cr} \) Mà \(\widehat {BAH} = \widehat {BMH}(\Delta ABH = \Delta MBH)\) nên \(\widehat {ACB} = \widehat {AMB}\) d) Cách 1: Gọi O là giao điểm của BD và CM. Xét tam giác MBC và DCB có: BM = CD (=AB) \(\widehat {MBC} = \widehat {DCB}( = \widehat {ABH})\) BC là cạnh chung. Do đó: \(\Delta MBC = \Delta DCB(c.g.c) \) \(\Rightarrow \widehat {BCM} = \widehat {CBD} \) \(\Rightarrow \widehat {BCM} = ({180^0} - \widehat {BOC}):2(1)\) Xét tam giác BDM và CMD có: \(BD = CM(\Delta MBC = \Delta DCB)\) BM = CD MD là cạnh chung. Do đó: \(\Delta BDM = \Delta CMD(c.c.c) \) \(\Rightarrow \widehat {BDM} = \widehat {CMD} \) \(\Rightarrow \widehat {CMD} = ({180^0} - \widehat {MOD}):2(2)\) Mà \(\widehat {BOC} = \widehat {MOD}(3)\) (đối đỉnh) Từ (1), (2), (3) ta có: \(\widehat {BCM} = \widehat {CMD}\) Mà góc BCM và CMD co le trong do đó: BC // DM. Cách 2: Gọi N là trung điểm của MD Xét hai tam giác HAI và HMI có: HA = HM (gt) \(\widehat {AHI} = \widehat {MHI}( = {90^0})\) IH là cạnh chung. Do đó: \(\Delta HAI = \Delta HMI(c.g.c) \Rightarrow IA = IM,\widehat {HAI} = \widehat {HMI}.\) Mà IA = ID \((\Delta ABI = \Delta DCI) \Rightarrow IM = ID\) Xét tam giác IMN và IDN có: IM = ID IN là cạnh chung MN = DN (N là trung điểm của MD) Do đó: \(\Delta IMN = \Delta IDN(c.c.c) \) \(\Rightarrow \widehat {IMN} = \widehat {IDN}.\) Ta có: \(\widehat {HAI} + \widehat {IDN} = \widehat {HMI} + \widehat {IMN} \) \(\Rightarrow \widehat {MAD} + \widehat {ADM} = \widehat {AMD}\) Tam giác AMD có: \(\widehat {MAD} + \widehat {ADM} + \widehat {AMD} = {180^0}.\) Do đó: \(\widehat {AMD} + \widehat {AMD} = {180^0} \) \(\Rightarrow 2\widehat {AMD} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AMD} = {90^0} \Rightarrow AM \bot DM\) Ta có: \(AM \bot BC;AM \bot DM.\) Vậy BC // DM. Loigiaihay.com
Quảng cáo
|