Bài 9 trang 70 SGK Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình vuông $ABCD$. Gọi $I$ là một điểm nằm giữa $A$ và $B$. Tia $DI$ và tia $CB$ cắt nhau ở $K$. Kẻ đường thẳng qua $D$, vuông góc với $DI$. Đường thẳng này cắt đường thẳng $BC$ tại $L$. Chứng minh rằng:

a) Tam giác $DIL$ là một tam giác cân;

b) Tổng $\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}$ không đổi khi $I$ thay đổi trên cạnh $AB$.

Lời giải chi tiết

a) Xét $\Delta ADI$ và $\Delta CDL$ có: 

               $\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}$

              $AD=CD$ (hai cạnh hình vuông)

             $\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}$  (cùng phụ với $\widehat{CDI})$

Do đó $\Delta ADI=\Delta CDL$ (g.c.g)

$\Rightarrow DI=DL$ ( 2 cạnh tương ứng)

Vậy $\Delta DIL$ cân tại D (đpcm).

b) Xét $\Delta{DLK}$ vuông tại $D$, đường cao $DC$.

Áp dụng hệ thức lượng $\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}$ trong tam giác vuông DKL, đường cao DC, ta có:

                 $\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DL^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}$  (mà $DL=DI)$

$\Rightarrow \dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}$

Do ABCD cố định nên $DC$ không đổi, do đó $\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}$ là không đổi.

Chú ý: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức $\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}$

Nếu đề bài không cho gợi ý vẽ $DL\perp DK$ thì ta vẫn phải kẻ thêm đường nét phụ $DL\perp DK$ để có thể vận dụng hệ thức trên.