Bài 8 trang 134 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho hai đường tròn $(O; R)$ và $(O'; r)$ tiếp xúc ngoài $(R > r).$ Hai tiếp tuyến chung $AB$ và $A'B'$ của hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $P$ ($A$ và $A'$ thuộc đường tròn $(O'),$ $B$ và $B'$ thuộc đường tròn $(O)$). Biết $PA = AB = 4 cm.$ Tính diện tích hình tròn $(O').$ 

Lời giải chi tiết

Vì $AB$ là tiếp tuyến chung của $(O)$ và  $(O’)$ nên $OB \bot AB$ và $O’A \bot AB$

Xét hai tam giác $OPB$ và $O’AP$, ta có:

$\widehat A = \widehat B = {90^0}$ 

$\widehat {{P_1}}$ chung 

Vậy $ΔOBP \backsim ∆ O’AP (g-g)$  

$\eqalign{ & \Rightarrow {r \over R} = {{PO'} \over {PO}} = {{PA} \over {PB}} = {4 \over 8} = {1 \over 2} \cr & \Rightarrow R = 2{\rm{r}} \cr}$

Xét tam giác OBP có: 

O'A // OB ( cùng vuông góc với BP)

AB = AP

$\Rightarrow$ O'A là đường trung bình của $∆OBP$)

$\Rightarrow OO' = O'P=R + r = 3r$ 

Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông $O’AP$

$O’P^2 = O’A^2 + AP^2$ hay ${\left( {3r} \right)^2} = {\rm{ }}{r^2} + {\rm{ }}{4^{2}} \Leftrightarrow {\rm{ }}9{r^2} = {\rm{ }}{r^2} + {\rm{ }}16{\rm{ }}$

$\Leftrightarrow {\rm{ }}8{\rm{ }}{r^2} = 16{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{r^2} = {\rm{ }}2$

Diện tích đường tròn $(O’;r)$ là:

$S = π. r^2 = π.2 = 2π$ ($cm^2$)