Bài 8 trang 120 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện của tứ diện.

Lời giải chi tiết

Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$,

Ta có: $\Delta ABC = \Delta DBC(c.c.c)$ $\Rightarrow AN = DN$ (hai đường trung tuyến tương ứng)

$\Rightarrow \Delta AND$ cân tại $N$.

$\Rightarrow$ Trung tuyến $MN$ đồng thời là đường cao $\Rightarrow MN \, \bot \,  AD \,\,\, (1)$

Chứng minh tương tự, $\Delta MBC$ cân tại $M \Rightarrow MN \, \bot  \, BC \,\,\,\,\, (2)$

Từ (1) và (2) suy ra $MN$ là đường vuông góc chung của $BC$ và $AD$.

$\Rightarrow d\left( {AD;BC} \right) = MN$

Tam giác $ABN$ vuông tại $N$ nên:

$AN = \sqrt {A{B^2} - B{N^2}}$ $= \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}$ $= \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $AMN$ ta có:

$MN = \sqrt {A{N^2} - A{M^2}}  = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4} - {{{a^2}} \over 4}}  = {{a\sqrt 2 } \over 2}$

Vậy $d\left( {AD;BC} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

 Loigiaihay.com