Bài 5 trang 119 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$.

a) Chứng minh rằng $B'D$ vuông góc với mặt phẳng $(BA'C')$.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(BA'C')$ và $(ACD')$.

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BC'$ và $CD'$.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$\begin{array}{l} BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \, \bot  \, A'C'\\ \left\{ \begin{array}{l} A'C' \,  \bot  \, B'D'\\ A'C'  \, \bot  \, BB' \end{array} \right. \Rightarrow A'C'  \, \bot  \, \left( {BB'D'D} \right)\\ \Rightarrow A'C' \bot B'D\\ DC  \, \bot  \, \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow DC \,  \bot  \, BC'\\ \left\{ \begin{array}{l} BC' \,  \bot \,  B'C\\ BC'  \, \bot \,  DC \end{array} \right. \Rightarrow BC'  \, \bot  \, \left( {A'B'CD} \right)\\ \Rightarrow BC'  \, \bot  \, B'D\\ \left\{ \begin{array}{l} B'D  \, \bot  \, A'C'\\ B'D  \, \bot  \, BC' \end{array} \right. \Rightarrow B'D \,  \bot  \, \left( {BA'C'} \right) \end{array}$

Cách khác:

Ta có $B'A' = B'B = B'C'$

$\Rightarrow B'$ thuộc trục của tam giác $A'BC'$            (1)

$DA' = DB = DC'$ (đường chéo các hình vuông bằng nhau)

$\Rightarrow D$ cũng thuộc trục của tam giác $A'BC'$    (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow B'D$ là trục của $(BA'C')$ $\Rightarrow B'D\bot (BA'C')$. 

b) Ta có: 

$\left\{ \begin{array}{l} BC'//AD'\\ A'C'//AC\\ BC',A'C' \subset \left( {BA'C'} \right)\\ AD',AC \subset \left( {ACD'} \right) \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)$

Mà $B'D \,  \bot  \, \left( {BA'C'} \right)$ nên $B'D  \, \bot  \, \left( {ACD'} \right)$

Gọi $G = B'D \cap \left( {BA'C'} \right);\,\,H = B'D \cap \left( {ACD'} \right)$

$\Rightarrow d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = GH$

Gọi $O, O'$ lần lượt là tâm các hình vuông $ABCD, A'B'C'D'$ ta có:

$BO'//D'O$ nên $O'G//D'H$, mà $O'$ là trung điểm của $B'D' \Rightarrow G$ là trung điểm của $B'H$.

$\Rightarrow GB'=GH$  (3)

$BO'//D'O$ nên $OH//GB$, mà $O$ là trung điểm của $BD \Rightarrow H$ là trung điểm của $DG$.

$\Rightarrow HG=HD$  (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $GB' = GH = HD \Rightarrow GH = \dfrac{1}{3}B'D$

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương cạnh $a$ nên:

$\begin{array}{l} B'D = \sqrt {B'{B^2} + B{D^2}} \\ = \sqrt {B'{B^2} + B{A^2} + A{D^2}} \\ = \sqrt {{a^2} + {a^2} + {a^2}} \\ = a\sqrt 3 \end{array}$

$\Rightarrow HG = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Vậy $d\left( {\left( {BA'C'} \right);\left( {ACD'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

c) $BC' ⊂ (BA'C')$; $CD' ⊂ (ACD')$, mà $\left( {BA'C'} \right)//\left( {ACD'} \right)$

Vậy $d(BC', CD') = d((BA'C'),(ACD'))= \dfrac{a\sqrt{3}}{3}.$

Loigiaihay.com