Bài 6 trang 119 SGK Hình học 11

Đề bài

Chứng minh rằng nếu đường thẳng nối trung điểm hai cạnh $AB$ và $CD$ của tứ diện $ABCD$ là đường vuông góc chung của $AB$ và $CD$ thì $AC = BD$ và $AD = BC$.

Lời giải chi tiết

Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Theo giả thiết $IJ \, \bot \,  AB, IJ \, \bot  \, CD$.

Qua $I$ kẻ đường thẳng $d \,  //  \, CD$, lấy trên $d$ điểm $E, F$ sao cho $IE = IF = \dfrac{CD}{2}$

Ta có $IJ  \, \bot  \, CD\,\, (gt) \Rightarrow IJ \bot EF$, lại có $IJ \,  \bot  \, AB \, \,(gt)$

$\Rightarrow IJ  \, \bot  \, (AEBF)$.

Ta có $CDFE$ là hình bình hành có $IJ$ là đường trung bình

$\Rightarrow CE  \, //  \, DF \,  //  \, IJ$ 

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}CE \,  \bot \,  \left( {AEBF} \right) \Rightarrow CE \,  \bot  \, BE\\DF \,  \bot \,  \left( {AEBF} \right) \Rightarrow DF \,  \bot  \, AF\end{array} \right.$

Ta có: $\Delta AIF = \Delta BIE(c.g.c)$ suy ra: $AF=BE$

Xét $∆DFA$ và $∆CEB$ có:

  +) $\widehat E = \widehat F( = {90^0})$ 

  +) $AF=BE$

  +) $DF=CE$

$\Rightarrow ∆DFA=∆CEB(c.g.c) \Rightarrow AD = BC$. 

Chứng minh tương tự ta được $BD = AC$.

 Loigiaihay.com