Bài 7 trang 134 SGK Toán 9 tập 2

Giải bài 7 trang 134 SGK Toán 9 tập 2. Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D và E sao cho góc DOE = 60o.

Đề bài

Cho tam giác đều \(ABC\), \(O\) là trung điểm của \(BC\). Trên các cạnh \(AB, AC\) lần lượt lấy các điểm di động \(D\) và \(E\) sao cho góc \(\widehat {DOE} = {60^0}\).

a) Chứng minh tích \(BD.CE\) không đổi.

b) Chứng minh \(ΔBOD\) đồng dạng \(ΔOED\). Từ đó suy ra tia \(DO\) là tia phân giác của góc \(BDE\). 

c) Vẽ đường tròn tâm \(O\) tiếp xúc với \(AB\). Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với \(DE\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Chứng minh các cặp tam giác bằng nhau suy ra các cạnh tương ứng bằng nhau.

+) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ.

Lời giải chi tiết

                        

a) Chứng minh tích \(BD.CE\) không đổi.

Ta có \(\widehat {DOC}\) là góc ngoài của \(∆ BDO\) nên: \(\widehat {DOC} = \widehat B + {\widehat D_1}\)

hay \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_2}} = \widehat B + \widehat {{D_1}} \Leftrightarrow {60^0} + \widehat {{O_2}} = {60^0} + \widehat {{D_1}}\)

\(\Leftrightarrow \widehat {{O_2}} = \widehat {{D_1}}\) 

Xét hai tam giác: \(∆BOD\) và \(∆CEO\), ta có: \(\widehat B = \widehat C = {60^0}\) (gt)  và \(\widehat {{O_2}} = \widehat {{D_1}}\) (cmt) 

\(⇒ ∆BOD\) đồng dạng \(∆CEO\) (g.g)

\( \displaystyle \Rightarrow {{B{\rm{D}}} \over {BO}} = {{CO} \over {CE}} \Rightarrow B{\rm{D}}.CE = BO.CO\)

hay \(\displaystyle B{\rm{D}}.CE = {{BC} \over 2}.{{BC} \over 2} = {{B{C^2}} \over 4}\) (không đổi)

Vậy \(\displaystyle B{\rm{D}}.CE = {{B{C^2}} \over 4}\) không đổi

b) Chứng minh \(ΔBOD\) đồng dạng \(ΔOED\)

Từ câu (a) ta có: \(∆BOD\) đồng dạng \(∆CEO\)

\( \displaystyle \Rightarrow {{O{\rm{D}}} \over {OE}} = {{B{\rm{D}}} \over {OC}} = {{B{\rm{D}}} \over {OB}}\) (do \(OC = OB\))

Mà \(\widehat B = \widehat {DOE} = {60^0}\) 

Vậy \(ΔBOD\) đồng dạng \(ΔOED\) (c.g.c) \(\Rightarrow \widehat {B{\rm{D}}O} = \widehat {O{\rm{D}}E}\)  

hay \(DO\) là tia phân giác của góc \(BDE\)

c) Vẽ \(OK \bot DE\) và gọi \(I\) là tiếp điểm của \((O)\) với \(AB\), khi đó \(OI \bot AB\). Xét hai tam giác vuông: \(IDO\) và \(KDO\), ta có:

\(DO\) chung 

\(\widehat {{D_1}} = \widehat {{D_2}}\) (do \(DO\) là tia phân giác của góc \(BDE\))

Vậy \(ΔIDO= ΔKDO \, (ch - gn)\)\( ⇒ OI = OK\) (các cạnh tương ứng).

Điều này chứng tỏ rằng \(OK\) là bán kính của \((O)\) và \(OK \bot DE\) nên \(K\) là tiếp điểm của \(DE\) với \((O)\) hay \(DE\) tiếp xúc với đường tròn \((O).\)

Loigiaihay.com

  • Bài 8 trang 134 SGK Toán 9 tập 2

    Bài 8 trang 134 SGK Toán 9 tập 2

    Giải bài 8 trang 134 SGK Toán 9 tập 2. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) tiếp xúc ngoài (R > r).

  • Bài 9 trang 135 SGK Toán 9 tập 2

    Bài 9 trang 135 SGK Toán 9 tập 2

    Giải bài 9 trang 135 SGK Toán 9 tập 2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O') và ngoại tiếp đường tròn (O). Tia AO cắt đường tròn (O') tại D. Ta có:

  • Bài 10 trang 135 SGK Toán 9 tập 2

    Bài 10 trang 135 SGK Toán 9 tập 2

    Giải bài 10 trang 135 SGK Toán 9 tập 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn(O). Các cung nhỏ AB, BC, CA có số đo lần lượt là x + 75o, 2x + 25o, 3x - 22o. Một góc của tam giác ABC có số đo là:

  • Bài 11 trang 135 SGK Toán 9 tập 2

    Bài 11 trang 135 SGK Toán 9 tập 2

    Giải bài 11 trang 135 SGK Toán 9 tập 2. Từ một điểm P ở ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến PAB và PCD tới đường tròn. Gọi Q là một điểm nằm trên cung nhỏ BD (không chứa A và C) sao cho sđ cung BQ = 42° và sđ cung QD = 38°. Tính tổng

  • Bài 47 trang 27 SGK Toán 9 tập 1

    Bài 47 trang 27 SGK Toán 9 tập 1

    Giải bài 47 trang 27 SGK Toán 9 tập 1. Rút gọn...

  • Bài 11 trang 76 SGK Toán 9 tập 1

    Bài 11 trang 76 SGK Toán 9 tập 1

    Giải bài 11 trang 76 SGK Toán 9 tập 1. Tính các tỷ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỷ số lượng giác của góc A.

  • Bài 27 trang 88 SGK Toán 9 tập 1

    Bài 27 trang 88 SGK Toán 9 tập 1

    Giải bài 27 trang 88 SGK Toán 9 tập 1. Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng:

  • Bài 48 trang 29 SGK Toán 9 tập 1

    Bài 48 trang 29 SGK Toán 9 tập 1

    Giải bài 48 trang 29 SGK Toán 9 tập 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

?>
Gửi bài tập - Có ngay lời giải