Bài 7 trang 120 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $3a$, cạnh bên bằng $2a$. Tính khoảng cách từ $S$ tới mặt đáy $(ABC)$.

Lời giải chi tiết

Gọi $H$ là tâm của tam giác đều $ABC$ ta có $SH \,  \bot  \, (ABC)$

$\Rightarrow d(S,(ABC))=SH$

Gọi $N$ là trung điểm của $BC$.

$\Rightarrow BN = NC = \dfrac{{3a}}{2}$

Tam giác $ABN$ vuông tại $N$ nên:

$AN = \sqrt {A{B^2} - B{N^2}}$ $= \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2}$

$H$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $\Rightarrow AH=\dfrac 2 3 .AN = a\sqrt 3$

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông $SAH$ ta có:

$SH = \sqrt{SA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{4a^{2}-(a\sqrt{3})^{2}}=a.$

Vậy $d\left( {S;\left( {ABC} \right)} \right) = SH = a$.

Loigiaihay.com