Bài 6 trang 141 SGK Đại số và Giải tích 11Chứng minh rằng phương trình: Quảng cáo
Đề bài Chứng minh rằng phương trình: a) \(2x^3- 6x + 1 = 0\) có ít nhất hai nghiệm; b) \(\cos x = x\) có nghiệm. Video hướng dẫn giải Phương pháp giải - Xem chi tiết - Xét các hàm số vế trái của phương trình. - Tìm hai điểm bất kì và tính tích các giá trị của hàm số tại hai điểm đó. + Nếu tích nhỏ hơn \(0\) thì ta kết luận phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng hai giá trị ấy. + Nếu tích lớn hơn \(0\) thì ta không kết luận gì và tìm giá trị khác để tính. Lời giải chi tiết a) Xét hàm số \(f(x)=2x^3-6x + 1\) là hàm đa thức nên liên tục trên \(\mathbb R\). Ta có: \(f\left( 0 \right) = {2.0^3} - 6.0 + 1 = 1;\) \(f\left( 1 \right) = {2.1^3} - 6.1 + 1 = - 3;\) \(f\left( { - 2} \right) = 2.{\left( { - 2} \right)^3} - 6.\left( { - 2} \right) + 1 = - 3\) +) \(f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) = 1.\left( { - 3} \right) < 0\) nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm \(x_0 \in (0; 1)\). +) \(f\left( 0 \right).f\left( -2 \right) = 1.\left( { - 3} \right) < 0\) nên phương trình có ít nhất 1 nghiệm \(x_1 \in (-2; 0)\). Mà \(\left( {0;1} \right) \cup \left( { - 2;0} \right) = \emptyset \Rightarrow x_0 \ne x_1 \Rightarrow \) phương trình \(f(x) = 0\) có ít nhất hai nghiệm. b) \(\cos x = x \Leftrightarrow \cos x - x = 0\) Xét hàm số \(g\left( x \right) = \cos x - x\) xác định trên \(\mathbb R\) nên liên tục trên \(\mathbb R\). Ta có: \(g\left( 0 \right) = \cos 0 - 0 = 1 - 0 = 1;\) \(g\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = \cos \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{2} = - \dfrac{\pi }{2}\) \(g\left( 0 \right).g\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 1.\left( { - \dfrac{\pi }{2}} \right) = - \dfrac{\pi }{2} < 0\) nên phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng \((0; \dfrac{\pi }{2})\). Loigiaihay.com
Quảng cáo
|