Bài 52 Trang 177 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Parabol $y = {x^2} - 2x + 2,$ tiếp tuyến của nó tại điểm $M(3;5)$ và trục tung

Phương pháp giải:

- Viết phương trình tiếp tuyến.

- Dựng hình suy ra công thức tính diện tích.

Lời giải chi tiết:

Ta có $y' = 2x - 2 \Rightarrow y'\left( 3 \right) = 4.$
Phương trình tiếp tuyến với parabol tại M(3;5) là:
$y - 5 = 4\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow y = 4x - 7$
Gọi S là diện tích cần tìm, ta có :

$\eqalign{ & S = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 2x + 2 - 4x + 7} \right)} dx \cr  & \,\,\, = \int\limits_0^3 {\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)} dx = \int\limits_0^3 {{{\left( {x - 3} \right)}^2}dx} \cr  & \,\,\, = \left. {{1 \over 3}{{\left( {x - 3} \right)}^3}} \right|_0^3 = 9. \cr}$

LG b

Parabol $y =  - {x^2} + 4x - 3$ và các tiếp tuyến của nó tại các điểm $A(0;-3)$ và $B(3;0)$

Phương pháp giải:

- Viết phương trình tiếp tuyến.

- Dựng hình suy ra công thức tính diện tích.

Lời giải chi tiết:

Ta có $y' =  - 2x + 4$ $\Rightarrow y'\left( 0 \right) = 4;y'\left( 3 \right) =  - 2$
Phương trình tiếp tuyến tại $A(0;-3)$ là :
$y + 3 = 4\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = 4x - 3$
Phương trình tiếp tuyến tại $B(3;0)$ là :
$y =  - 2\left( {x - 3} \right) \Leftrightarrow y =  - 2x + 6$
Giao điểm của hai tiếp tuyến là $C\left( {{3 \over 2};3} \right).$ 

Kí hiệu ${A_1}$ và ${A_2}$ là tam giác cong $ACD$ Và $BCD$. Ta có :

$S\left( {{A_1}} \right) = \int\limits_0^{{3 \over 2}} {\left( {4x - 3 + {x^2} - 4x + 3} \right)} dx$ $= \int\limits_0^{{3 \over 2}} {{x^2}dx = \left. {{{{x^3}} \over 3}} \right|_0^{{3 \over 2}}}  = {9 \over 8}$

$S\left( {{A_2}} \right) = \int\limits_{{3 \over 2}}^3 {\left( { - 2x + 6 + {x^2} - 4x + 3} \right)} dx$ $= \int\limits_{{3 \over 2}}^3 {{{\left( {x - 3} \right)}^2}dx = } \left. {{1 \over 3}{{\left( {x - 3} \right)}^3}} \right|_{{3 \over 2}}^3 = {9 \over 8}$

Vậy $S = S\left( {{A_1}} \right) + S\left( {{A_2}} \right) = {9 \over 8} + {9 \over 8} = {9 \over 4}$

 Loigiaihay.com