Bài 51 trang 87 SGK Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho $I, \, O$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ với $\widehat{A} = 60^0.$ Gọi $H$ là giao điểm của các đường cao $BB'$ và $CC'.$

Chứng minh các điểm $B,\, C,\, O,\, H,\, I$ cùng thuộc một đường tròn.

Lời giải chi tiết

                                

+) Ta có: $\widehat{BOC} = 2\widehat{BAC} =  2.60^0= 120^0$  (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung $BC$).                (1)

+) Lại có  $\widehat{BHC} = \widehat{B'HC'}$ (hai góc đối đỉnh)

Xét tứ giác AB'HC' có: $\widehat{B'HC'} + \widehat {HC'A} + \widehat {HB'A} + \widehat A = 360^0$ (tổng các góc của tứ giác bằng $360^0$) nên $\widehat{B'HC'} = 360^\circ  - \widehat {HC'A} - \widehat {HB'A} - \widehat A$ $= 360^\circ  - 90^\circ  - 90^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ$

$\Rightarrow \widehat{BHC} = 120^0.$           (2)  

+) Vì I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên BI; CI lần lượt là tia phân giác góc B, góc C.

Xét tam giác $ABC$ có $\widehat B + \widehat C + \widehat A = 180^\circ$ (Định lí tổng 3 góc trong một tam giác) $\Leftrightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ$

Xét tam giác BIC có $\widehat {BIC}+ \widehat {IBC}+ \widehat {ICB}=180^0$ (Định lí tổng 3 góc trong một tam giác) 

$\Rightarrow$$\begin{array}{l}\widehat {BIC} = 180^\circ  - \widehat {IBC} - \widehat {ICB} = 180^\circ  - \dfrac{{\widehat B}}{2} - \dfrac{{\widehat C}}{2}\\ = 180^\circ  - \dfrac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = 180^\circ  - 60^\circ  = 120^\circ \end{array}$

Do đó $\widehat{BIC} = 120^0.$  (3)

Từ (1), (2), (3) ta thấy các điểm $O, \, H, \, I$ cùng nằm trên các cung chứa góc $120^0$ dựng trên đoạn thẳng $BC.$ hay 5 điểm $B,\, C,\, O,\, H,\, I$ cùng thuộc một đường tròn.