Bài 51 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

Đồ thị các hàm số $y = 4 - {x^2},y =  - x + 2;$

Phương pháp giải:

- Tìm hoành độ giao điểm.

- Tính diện tích theo công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx}$

Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

$4 - {x^2} = - x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr  x = 2 \hfill \cr} \right.$

Với $x \in \left[ { - 1;2} \right]$ thì $- {x^2} + x + 2 \ge 0$ $\Rightarrow \left| { - {x^2} + x + 2} \right| =  - {x^2} + x - 2$

Khi đó

Do đó 

$\eqalign{ & S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {4 - {x^2} - \left( { - x + 2} \right)} \right|} dx \cr &= \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - {x^2} + x + 2} \right|} dx \cr  &= \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + x + 2} \right)} dx \cr &= \left. {\left( { - {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^2 \cr &= \left( { - \dfrac{8}{3} + 2 + 4} \right) - \left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} - 2} \right)\cr &= {9 \over 2} \cr}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {4 - {x^2} - \left( { - x + 2} \right)} \right|dx} \\ = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| { - {x^2} + x + 2} \right|dx} \\ = \left| {\int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - {x^2} + x + 2} \right)dx} } \right|\\ = \left| {\left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + \dfrac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^2} \right|\\ = \left| {\dfrac{9}{2}} \right| = \dfrac{9}{2} \end{array}$

LG b

Các đường cong có phương trình $x = 4 - 4{y^2}$ và $x = 1 - {y^4}$ trong miền $x\ge0$.

Phương pháp giải:

- Giải phương trình $f(y)=g(y)$

- Sử dụng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( y \right) - g\left( y \right)} \right|dy}$

Lời giải chi tiết:

Phương trình tung độ giao điểm của hai đồ thị là

$4 - 4{y^2} = 1 - {y^4} \Leftrightarrow {y^4} - 4{y^2} + 3 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{ {y^2} = 1 \hfill \cr  {y^2} = 3 \hfill \cr} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{ y = \pm 1 \hfill \cr  y = \pm \sqrt 3\; (\text{ loại vì } x<0)\hfill \cr} \right.$

Với $y \in \left[ { - 1;1} \right]$ thì ${y^4} - 4{y^2} + 3$ $= \left( {{y^2} - 1} \right)\left( {{y^2} - 3} \right) \ge 0$

Do đó,

Diện tích giới hạn hai đồ thị ở phần $x \ge 0$ là:

$\eqalign{ & S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {4 - 4{y^2} - \left( {1 - {y^4}} \right)} \right|} dy \cr  & = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{y^4} - 4{y^2} + 3} \right|} dy \cr  &  = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{y^4} - 4{y^2} + 3} \right)} dy \cr  & = \left. {\left( {{{{y^5}} \over 5} - {4 \over 3}{y^3} + 3y} \right)} \right|_{ - 1}^1  \cr}$

$= \left( {\dfrac{1}{5} - \dfrac{4}{3} + 3} \right) - \left( { - \dfrac{1}{5} + \dfrac{4}{3} - 3} \right)$ $= \dfrac{{28}}{{15}} + \dfrac{{28}}{{15}} = \dfrac{{56}}{{15}}$

Cách khác:

$\begin{array}{l} S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {4 - 4{y^2} - \left( {1 - {y^4}} \right)} \right|dy} \\ = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{y^4} - 4{y^2} + 3} \right|dy} \\ = \left| {\int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{y^4} - 4{y^2} + 3} \right)dy} } \right|\\ = \left| {\left. {\left( {\dfrac{{{y^5}}}{5} - \dfrac{{4{y^3}}}{3} + 3} \right)} \right|_{ - 1}^1} \right|\\ = \left| {\dfrac{{28}}{{15}} - \left( { - \dfrac{{28}}{{15}}} \right)} \right| = \dfrac{{56}}{{15}} \end{array}$

 Loigiaihay.com