Bài 50 Trang 176 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

LG a

$\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\sin 2xdx;}$

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần 

Đặt$\left\{ \matrix{u = {x^2} \hfill \cr dv = \sin 2xdx \hfill \cr} \right.$

Lời giải chi tiết:

Đặt

$\left\{ \matrix{ u = {x^2} \hfill \cr  dv = \sin 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = 2xdx \hfill \cr  v = - {1 \over 2}\cos 2x \hfill \cr} \right.$

Do đó $\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\sin 2xdx}$ $= \left. { - {1 \over 2}{x^2}\cos 2x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} + \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x}\cos 2xdx}$
$= {{{\pi ^2}} \over 8} + \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos 2xdx\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}$
Đặt

$\left\{ \matrix{ u = x \hfill \cr  dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ du = dx \hfill \cr  v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.$

Do đó $\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos 2xdx}$ $= \left. {\frac{1}{2}x\sin 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx}$ $= 0 - \left. {\frac{1}{2}.\frac{{ - \cos 2x}}{2}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}$ $= \left. {{1 \over 4}\cos 2x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} =  - {1 \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$
Thay (2) vào (1) ta được: $\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\sin 2xdx = {{{\pi ^2}} \over 8}}  - {1 \over 2}.$

LG b

$\int\limits_1^2 {x\left( {2{x^2} + 1} \right)} dx;$

Phương pháp giải:

Đổi biến $u = 2{x^2} + 1$

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = 2{x^2} + 1 \Rightarrow du = 4xdx$ $\Rightarrow xdx = {{du} \over 4}$

$\int\limits_1^2 {x\left( {2{x^2} + 1} \right)dx = {1 \over 4}} \int\limits_3^9 {udu}$ $= \left. {{1 \over 8}{u^2}} \right|_3^9 = 9$

Cách khác:

$\int\limits_1^2 {x\left( {2{x^2} + 1} \right)dx}$ $= \int\limits_1^2 {\left( {2{x^3} + x} \right)dx}$ $= \left. {\left( {\dfrac{{2{x^4}}}{4} + \dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2$ $= 10 - 1 = 9$

LG c

$\int\limits_2^3 {\left( {x - 1} \right)} {e^{{x^2} - 2x}}dx.$

Phương pháp giải:

Đổi biến $u = {x^2} - 2x$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $u = {x^2} - 2x \Rightarrow du = 2\left( {x - 1} \right)dx$ $\Rightarrow \left( {x - 1} \right)dx = {{du} \over 2}$

$\int\limits_2^3 {\left( {x - 1} \right)} {e^{{x^2} - 2x}}dx$ $= {1 \over 2}\int\limits_0^3 {{e^u}du = } \left. {{1 \over 2}{e^u}} \right|_0^3 = {1 \over 2}\left( {{e^3} - 1} \right).$

 Loigiaihay.com