Bài 4 trang 92 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình tứ diện $ABCD$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$. Chứng minh rằng: 

a) $\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right );$

b) $\overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right ).$

Lời giải chi tiết

a) $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.$

$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.$ 

Cộng từng vế ta được:

$\begin{array}{l} 2\overrightarrow {MN}  \\ = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right) + \left( {\overrightarrow {DN} + \overrightarrow {CN} } \right) \end{array}$

Do $M,N$ là trung điểm của $AB,CD$ nên $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {CN}  = \overrightarrow {DN}  + \overrightarrow {ND}  = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow 0  + \left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow 0$ $= \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC} \right )$

b)

$\eqalign{ & \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CN} \cr & \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DN} \cr}$

Cộng từng vế ta được: 

$\begin{array}{l} 2\overrightarrow {MN} \\ = \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CN} + \overrightarrow {DN} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right) + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} \end{array}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\dfrac{1}{2}\left ( \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} \right ).$

Loigiaihay.com