Bài 9 trang 92 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho tam giác $ABC$. Lấy điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng $(ABC)$. Trên đoạn $SA$ lấy điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{MS}$ = $-2\overrightarrow{MA}$ và trên đoạn $BC$ lấy điểm $N$ sao cho $\overrightarrow{NB}=-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{NC}.$ Chứng minh rằng ba véctơ  $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{SC}$ đồng phẳng.

Lời giải chi tiết

Biểu diễn $\overrightarrow {MN}$ qua hai véc tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {SC}$:

Ta có:

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MS} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {CN}$$= {2 \over 3}\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {SC} + {2 \over 3}\overrightarrow {CB} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN}$$= - {1 \over 3}\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} - {1 \over 3}\overrightarrow {CB} \,\,\,\left( 2 \right)$

Nhân (2) với $2$ rồi cộng với (1) ta được:

$3\overrightarrow{MN}$ = $\overrightarrow{SC}$ + $2\overrightarrow{AB}$ $\Leftrightarrow\overrightarrow{MN}= \frac{1}{3}\overrightarrow{SC}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}.$

Vậy $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MN}$, $\overrightarrow{SC}$ đồng phẳng.

 Loigiaihay.com