Bài 35 trang 10 SBT Hình học 12 Nâng cao

Giải bài 35 trang 10 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho khối chóp tứ giác đều ...

Quảng cáo

Đề bài

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến \(mp\left( {SBC} \right)\) bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp là nhỏ nhất ?

Lời giải chi tiết

Giả sử O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi EH là đường trung bình của hình vuông ABCD \(\left( {E \in AD,H \in BC} \right).\)

Vì \(AD//BC\) nên \(AD//\left( {SBC} \right)\), do đó

\(d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {E,\left( {SBC} \right)} \right)\)

Kẻ \(EK \bot SH\). Dễ thấy \(EK \bot \left( {SBC} \right)\) suy ra

\(EK = d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = 2a.\)

Ta có : \(BC \bot SH,BC \bot OH \Rightarrow \)\(\widehat {SHO}\) là góc giữa mặt bên \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng đáy. Đặt \(\widehat {SHO}  =x\left( {0 < x < {\pi  \over 2}} \right)\). Khi đó :

\(EH = {{2a} \over {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }};\;OH = {a \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}};\;SO = {a \over {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}{\mathop{\rm tanx}\nolimits}  = {a \over {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} }}\)

Vậy: \({V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}{S_{ABCD}}.SO = {{4{a^3}} \over {3\cos x{{\sin }^2}x}}\)

Từ đó \({V_{S.ABCD}}\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(y\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x\) đạt giá trị lớn nhất. Ta có:

\(\eqalign{
 y'\left( x \right) &= - {\sin ^3}x + 2\sin x.{\cos ^2}x \cr 
& = \sin x\left( {2{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right) \cr 
& = \sin x\left( {2 - 3{{\sin }^2}x} \right) \cr 
& = 3\sin x\left( {\sqrt {{2 \over 3}} - \sin x} \right)\left( {\sqrt {{2 \over 3}} + \sin x} \right) \cr} \)

Vì \(0 < x < {\pi  \over 2}\) nên \(\sin x\left( {\sqrt {{2 \over 3}}  + \sin x} \right) > 0\)

Gọi \(\alpha \) là góc sao cho \(\sin \alpha  = \sqrt {{2 \over 3}} ;\,\,0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\)

Ta có bảng biến thiên của hàm số \(y\left( x \right) = \cos x.{\sin ^2}x\):

Vậy \({V_{S.ABCD}}\) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \alpha \) với \(0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\) và \(\sin x = \sqrt {{2 \over 3}} .\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo
list
close
Gửi bài