Bài 3 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình chóp cụt lục giác đều $ABCDEF.A'B'C'D'E'F'$ với $O$ và $O'$ là tâm hai đáy, cạnh đáy lớn và đáy nhỏ lần lượt là $a$ và $\frac{a}{2},OO' = a$

a) Tìm góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

b) Tìm góc phẳng nhị diện $\left[ {O,AB,A'} \right];\left[ {O',A'B',A} \right]$.

Lời giải chi tiết

 

a) Kẻ $C'H \bot OC\left( {H \in OC} \right)$

 là hình chữ nhật $\Rightarrow OH = O'C' = a,OO'\parallel C'H$

Mà $OO' \bot \left( {ABCDEF} \right)$

$\begin{array}{l} \Rightarrow C'H \bot \left( {ABCDEF} \right)\\ \Rightarrow \left( {CC',\left( {ABCDEF} \right)} \right) = \left( {CC',CH} \right) = \widehat {C'CH}\end{array}$

$\begin{array}{l}HC = OC - O'C' = \frac{a}{2},C'H = OO' = a\\ \Rightarrow \tan \widehat {C'CH} = \frac{{C'H}}{{HC}} = 2 \Rightarrow \widehat {C'CH} \approx 63,{4^ \circ }\end{array}$

Vậy $\left( {CC',\left( {ABCDEF} \right)} \right) \approx 63,{4^ \circ }$

b) Gọi $M,M'$ lần lượt là trung điểm của $AB,A'B'$.

$\Rightarrow OM \bot AB,O'M' \bot A'B'$

$ABB'A'$ là hình thang cân $\Rightarrow MM' \bot AB,MM' \bot A'B'$

$\Rightarrow \left[ {O,AB,A'} \right] = \widehat {OMM'},\left[ {O',A'B',A} \right] = \widehat {O'M'M}$

Kẻ $M'K \bot OM\left( {K \in OM} \right)$

$OO'M'K$ là hình chữ nhật $\Rightarrow OK = O'K' = \frac{{A'B'\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4},OO' = M'K = a$

$\begin{array}{l}OM = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},MK = OM - OK = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\\ \Rightarrow \tan \widehat {OMM'} = \frac{{M'K}}{{MK}} = \frac{4}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow \widehat {OMM'} \approx 66,{6^ \circ }\\ \Rightarrow \widehat {O'M'M} = {180^ \circ } - \widehat {OMM'} = 113,{4^ \circ }\end{array}$