Bài 1 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho tứ diện đều ABCD. Vẽ hình bình hành BCED.

a) Tìm góc giữa đường thẳng AB và (BCD).

b) Tìm góc phẳng nhị diện [A, CD, B], [A, CD, E].

Lời giải chi tiết

 

a) Giả sử tứ diện đều có tất cả các cạnh bằng a.

Gọi I là trung điểm của CD, O là tâm của \(\Delta BCD\)

\(\Rightarrow AO \bot \left( {BCD} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) = \left( {AB,OB} \right) = \widehat {ABO}\).

BI là trung tuyến của tam giác đều BCD

\( \Rightarrow BI = \frac{{BC\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow BO = \frac{2}{3}BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

\(\cos \widehat {ABO} = \frac{{BO}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \widehat {ABO} \approx 54,7^o\)

Vậy \(\left( {AB,\left( {BCD} \right)} \right) \approx 54,7^o\).

b) \(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AI \bot CD\).

\(\Delta BCD\) đều \( \Rightarrow BI \bot CD\).

Vậy \(\widehat {AIB}\) là góc phẳng nhị diện [A, CD, B].

\(OI = \frac{1}{3}BI = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\);

\(AO = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}}  = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

\(\tan \widehat {AIB} = \frac{{AO}}{{OI}} = 2\sqrt 2  \Rightarrow \widehat {AIB} \approx 70,5^o\).

\(\Delta ACD\) đều \( \Rightarrow AI \bot CD\).

\(\Delta ECD\) đều \( \Rightarrow EI \bot CD\).

Vậy \(\widehat {AIE}\) là góc phẳng nhị diện \(\left[ {A,CD,B} \right]\).

\(\widehat {AIE} = 180^o - \widehat {AIB} = 109,5^o\).