Bài 3 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

$3^n> 3n + 1$

Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với $n=2$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k \ge 2$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi $n \in N^*$.

Lời giải chi tiết:

Với $n=2$ ta có: $3^2 = 9 > 7 = 3.2+1$ (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k ≥ 2$, tức là

$3^k> 3k + 1$         (1).

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với $n=k+1$, tức là cần chứng minh: $3^{k+1}> 3(k+1) + 1=3k+4$

Nhân hai vế của (1) với $3$, ta được:

$3^{k+1} > 9k + 3$

$\Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1$

Vì $k \ge 2 \Rightarrow 6k - 1 \ge 11 > 0$ nên $3^{k+1} > 3k + 4 +11 > 3k + 4 = 3(k+1)+1).$

Tức là bất đẳng thức đúng với $n = k + 1$.

Vậy $3^n> 3n + 1$  với mọi số tự nhiên $n ≥ 2$.

Quảng cáo

LG b

$2^{n+1} > 2n + 3$

Lời giải chi tiết:

Với $n = 2$ thì ${2^{2 + 1}} = 8 > 7 = 2.2 + 3$ (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với $n = k ≥ 2$, tức là

$2^{k+1} > 2k + 3$          (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với $n= k + 1$, nghĩa là phải chứng minh

${2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 3{\rm{ }}$

$\Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5$

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với $2$, ta được:

${2^{k + 2}} > 4k + 6$

$\Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1$

Vì $k \ge 2 \Rightarrow 2k + 1> 0$ nên ${2^{k + 2}}> 2k + 5$.

Tức là bất đẳng thức đúng với $n=k+1$.

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức ${2^{n+1}} > 2n + 3$ đúng với mọi số tự nhiên $n ≥ 2$.

Cách khác:

+ Với $n = 2$ thì bất đẳng thức $\Leftrightarrow \;8 > 7$ (luôn đúng).

+ Giả sử bđt đúng khi $n = k \ge 2$, nghĩa là ${2^{k + 1}}\; > 2k + 3.$

Ta chứng minh đúng với $n=k+1$ tức là chứng minh: ${2^{k + 2}}\; > 2(k +1)+ 3.$

Thật vậy, ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}} {{2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}}\; = {\rm{ }}{{2.2}^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}}\\ { > {\rm{ }}2.\left( {2k{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right) = {\rm{ }}4k + 6{\rm{ }} = 2k + 2 + 2k + 4.}\\ { > {\rm{ }}2k + 2 + 3 = 2.\left( {k + 1} \right) + 3} \end{array}$

(Vì $2k + 4 >3$ với mọi $k ≥ 2$)

$\Rightarrow \;\left( 2 \right)$ đúng với $n = k + 1$.

Vậy ${2^{n{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}\; > {\rm{ }}2n + 3\;$ với mọi $n ≥ 2$.

Loigiaihay.com