Bài 2 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

${n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n$ chia hết cho $3$;

Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với $n=1$.

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến $n=k \ge 1$ (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến $n=k+1$.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi $n \in N^*$.

Lời giải chi tiết:

Đặt $S_n={n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n$

Với $n = 1$ thì $S_1= {1^3} + {3.1^2} + 5.1 = 9$ chia hết cho $3$

Giả sử với $n = k ≥ 1$, $S_k= ({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}5k)  \vdots$ $3$

Ta phải chứng minh rằng $S_{k+1}$$\vdots$ $3$

Thật vậy :

$S_{k+1}={\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^3} + {\rm{ }}3{\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}5\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)$

$= {k^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}6k{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}5k{\rm{ }} + {\rm{ }}5$

$=( {\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}5k{\rm{ }}) + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}9k{\rm{ }} + {\rm{ }}9$

$= {S_k} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}3)$

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k$ $\vdots$ $3$

Mà $3({k^2} + {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}3) \vdots$ $3$ nên $S_{k+1} \vdots$ $3$.

Vậy ${n^3} + {\rm{ }}3{n^2} + {\rm{ }}5n$ chia hết cho $3$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$.

Cách khác:

Chứng minh trực tiếp.

Ta có:

$\begin{array}{*{20}{l}} {{n^3}\; + {\rm{ }}3{n^2}\; + {\rm{ }}5n}\\ {\;\;\;\;\;\; = {\rm{ }}n.({n^2}\; + {\rm{ }}3n{\rm{ }} + {\rm{ }}5)}\\ {\;\;\;\;\;\; = {\rm{ }}n.({n^2}\; + {\rm{ }}3n{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3)}\\ {\;\;\;\;\;\; = {\rm{ }}n.({n^2}\; + {\rm{ }}3n{\rm{ }} + {\rm{ }}2){\rm{ }} + {\rm{ }}3n}\\ {\;\;\;\;\;\; = {\rm{ }}n.\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}3n.} \end{array}$

Mà: $n\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)\; \vdots  \;3$ (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

và $3n \, \vdots \, 3$

$\Rightarrow {n^3} + 3{n^2} + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n\; \vdots \;3.$

Vậy ${n^3} + 3{n^2} + 5n$ chia hết cho $3$ với mọi $\forall n\; \in \;N*$

Quảng cáo

LG b

${4^n} + {\rm{ }}15n{\rm{ }} - {\rm{ }}1$ chia hết cho $9$

Lời giải chi tiết:

Đặt ${S_n} = {4^n} + {\rm{ }}15n{\rm{ }} - {\rm{ }}1$

Với $n{\rm{ }} = {\rm{ }}1,{S_1} = {\rm{ }}{4^1} + {\rm{ }}15.1{\rm{ }}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}18$ nên $S_1  \vdots$ $9$

Giả sử với $n = k ≥ 1$ thì ${S_k} = {\rm{ }}{4^k} + {\rm{ }}15k{\rm{ }} - {\rm{ }}1$ chia hết cho $9$.

Ta phải chứng minh $S_{k+1} \vdots$ $9$.

Thật vậy, ta có:

${S_{k + 1}} = {\rm{ }}{4^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}} + {\rm{ }}15\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}1$ 

$= {4.4^k} + 15k + 15 - 1$

$= {4.4^k} + 15k + 14$

$= {4.4^k} + 60k - {45k} + 18 - 4$

$= \left( {{{4.4}^k} + 60k - 4} \right) - 45k + 18$

$= {\rm{ }}4({4^k} + {\rm{ }}15k{\rm{ }}-{\rm{ }}1){\rm{ }}-{\rm{ }}45k{\rm{ }} + {\rm{ }}18{\rm{ }}$

$= {\rm{ }}4{S_k}-{\rm{ }}9\left( {5k{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)$

Theo giả thiết quy nạp thì $S_k  \vdots$ $9$  nên $4S_k   \vdots 9$

Mặt khác $9(5k - 2)   \vdots$ $9$, nên $S_{k+1}  \vdots 9$

Vậy $(4^n+ 15n - 1)  \vdots$ $9$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$

LG c

${n^3} + {\rm{ }}11n$ chia hết cho $6$.

Lời giải chi tiết:

Đặt ${S_n} = {n^3} + {\rm{ }}11n$

Với $n = 1$, ta có ${S_1} = {\rm{ }}{1^3} + {\rm{ }}11.1{\rm{ }} = {\rm{ }}12$ nên $S_1$ $\vdots$ $6$

Giả sử với $n = k ≥ 1$ , ${S_{k}} = {k^3} + {\rm{ }}11k$ chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh $S_{k+1}$$\vdots$ 6

Thật vậy, ta có 

${S_{k + 1}} = {\rm{ }}\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^3{\rm{ }} + {\rm{ }}11\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}$

$= {\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}3k^2+ {\rm{ }}3k{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}11k{\rm{ }} + {\rm{ }}11$

$= \left( {{k^3} + 11k} \right) + \left( {3{k^2} + 3k + 12} \right)$

$= ({\rm{ }}{k^3} + {\rm{ }}11k){\rm{ }} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}k{\rm{ }} + {\rm{ }}4){\rm{ }}$

$= {\rm{ }}{S_k} + {\rm{ }}3({k^2} + {\rm{ }}k{\rm{ }} + {\rm{ }}4)$

Theo giả thiết quy nạp thì  $S_k$$\vdots$ $6$, mặt khác $k^2+ k + 4 = k(k + 1) + 4$ là số chẵn nên $3(k^2+ k + 4)$ $\vdots$ $6$, do đó $S_{k+1}$$\vdots$ $6$

Vậy $n^3+ 11n$ chia hết cho $6$ với mọi $n\in {\mathbb N}^*$.

Cách khác:

Chứng minh trực tiếp.

Ta có: 

$\begin{array}{*{20}{l}} {{n^3}\; + {\rm{ }}11n}\\ { = {\rm{ }}{n^3}\;--{\rm{ }}n{\rm{ }} + {\rm{ }}12n}\\ { = {\rm{ }}n({n^2}\;--{\rm{ }}1){\rm{ }} + {\rm{ }}12n}\\ { = {\rm{ }}n\left( {n{\rm{ }}--{\rm{ }}1} \right)\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}12n.} \end{array}$

Vì $n\left( {n{\rm{ }}--{\rm{ }}1} \right)\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)$ là tích ba số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 thừa số chia hết cho $2$ và 1 thừa số chia hết cho $3$

$n(n{\rm{  - }}1)(n + 1)\,\, \vdots \;6$

Lại có: $12n \, \vdots 6 \,$

$\Rightarrow \;{n^3}\; + {\rm{ }}11n{\rm{ }} = {\rm{ }}n\left( {n--1} \right)\left( {n + 1} \right) + 12n\;\; \vdots \;\;6.$

Loigiaihay.com