Bài 4 trang 83 SGK Đại số và Giải tích 11

LG a

Tính ${S_1},{S_2},{S_3}$

Phương pháp giải:

Tính các giá trị $S_1;S_2;S_3$ bằng cách thay lần lượt $n=1;n=2;n=3$.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

$\eqalign{ & {S_1} = {1 \over {1.2}} = {1 \over 2} \cr  & {S_2} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} = {2 \over 3} \cr  & {S_3} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + {1 \over {3.4}} = {3 \over 4} \cr}$

Quảng cáo

LG b

Dự đoán công thức tính tổng $S_n$ và chứng minh bằng quy nạp.

Phương pháp giải:

Dựa vào các giá trị $S_1;S_2;S_3$ tính được ở trên, dự đoán tổng $S_n$.

Chứng minh kết quả vừa dự đoán bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải chi tiết:

Từ câu a) ta dự đoán $\displaystyle {S_n} = {n \over {n + 1}}(1)$, với mọi $n\in {\mathbb N}^*$

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi $n = 1$, vế trái là $\displaystyle {S_1} = {1 \over 2}$ vế phải bằng $\displaystyle {1 \over {1 + 1}} = {1 \over 2}$.

Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với $n\ge 1$, tức là 

$\displaystyle {S_k} = {1 \over {1.2}} + {1 \over {2.3}} + ... + {1 \over {k(k + 1)}} = {k \over {k + 1}}$

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với $n = k + 1$, nghĩa là phải chứng minh: $\displaystyle {S_{k + 1}} = {{k + 1} \over {k + 2}}$

Ta có :

$\displaystyle {S_{k + 1}} = {S_k} + {1 \over {(k + 1)(k + 2)}}$$\displaystyle = {k \over {k + 1}} + {1 \over {(k + 1)(k + 2)}}$

$= \dfrac{{k\left( {k + 2} \right) + 1}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}$ $\displaystyle = {{{k^2} + 2k + 1} \over {(k + 1)(k + 2)}}$

$= \frac{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}$ $= {{k + 1} \over {k + 2}}$

tức là đẳng thức (1) đúng với $n = k + 1$.

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.

Chú ý:

Một cách dự đoán khác các em có thể tham khảo thêm như sau:

$\begin{array}{l} \;{S_1} = \frac{1}{{1.2}} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2}\\ {S_2} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} = \left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) = 1 - \frac{1}{3}\\ {S_3} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} = \left( {\frac{1}{1} - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) = 1 - \frac{1}{4} \end{array}$

Dự đoán: ${S_n} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}$ (1)

Ta chứng minh đẳng thức (1) bằng quy nạp

+ Với $n = 1$ thì (1) đúng.

+ Giả sử (1) đúng với $n = k$, tức là

$${S_k} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}} = 1 - \frac{1}{{k + 1}}$$

Khi đó,

$\Rightarrow \left( 1 \right){\rm{  }} \text {đúng với } \, n = {\rm{ }}k + 1, \text {do đó đúng }{\rm{ }}\forall {\rm{ }}n{\rm{ }} \in {\rm{ }}N*.$

Loigiaihay.com