Bài 5 trang 83 SGK Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng

Quảng cáo

Đề bài

Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi \(n\) cạnh là \(\displaystyle {{n(n - 3)} \over 2}\)

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi \(n \in{\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh.

Lời giải chi tiết

Kí hiệu số đường chéo của đa giác \(n\) cạnh là \(C_n\).

Ta chứng minh \(\displaystyle C_n = {{n(n - 3)} \over 2}\) (1) với mọi \(n \in{\mathbb N}^*\), \(n ≥ 4\).

*) Với \(n = 4\), ta có tứ giác nên nó có 2 đường chéo.

Mặt khác \(\displaystyle {{4(4 - 3)} \over 2} = 2\) nên (1) đúng với \(n = 4\).

Vậy khẳng định đúng với \(n= 4\).

*) Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 4\), tức là \(C_k = \displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}\)

*) Ta phải chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\).
Tức là \(C_{k+1}=\displaystyle {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)
Xét đa giác lồi \(k + 1\) cạnh
Đa giác \(k\) cạnh \(A_1A_2...A_k\) có \(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}\) đường chéo (giả thiết quy nạp).
Nối \(A_{k+1}\) với các đỉnh \(A_2,...,A_{k-1}\), ta được thêm \(k -2\) đường chéo.
Ngoài ra \(A_1A_k\) cũng là một đường chéo.

Vậy số đường chéo của đa giác \(k + 1\) cạnh là

\(\displaystyle {{k(k - 3)} \over 2}+ k - 2 + 1\)

\( = \dfrac{{{k^2} - 3k}}{2} + k - 1 \)

\(= \dfrac{{{k^2} - 3k + 2k - 2}}{2}\)

\(\displaystyle ={{{k^2} - k - 2} \over 2} \)

\( = \dfrac{{\left( {k + 1} \right)\left( {k - 2} \right)}}{2}\)

\(\displaystyle = {{(k + 1)((k + 1) - 3)} \over 2}\)

Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác \(k + 1\) cạnh

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Chú ý:

Trên đây là cách chứng minh bằng quy nạp, các em có thể dễ dàng chứng minhcông thức đó bằng kiến thức chương 2 như sau:

Cách 2: Đa giác lồi \(n\) cạnh có \(n\) đỉnh.

Chọn 2 điểm bất kì trong số các đỉnh của một đa giác ta được 1 cạnh hoặc 1 đường chéo của đa giác.

⇒ Tổng số cạnh và đường chéo của đa giác bằng:

\(C_n^2 = \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}\)\( = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2\left( {n - 2} \right)!}} = \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}\)

⇒ Số đường chéo của đa giác lồi có \(n\) cạnh là:

\(\dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = \dfrac{{{n^2} - n - 2n}}{2}\)\( = \dfrac{{{n^2} - 3n}}{2} = \dfrac{{n\left( {n - 3} \right)}}{2}\)

Vậy ta có đpcm.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close