Bài 3 trang 119 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm \(B, C, D, A', B', D'\) đến đường chéo \(AC'\) đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó.

Lời giải chi tiết

Gọi \(K\) là hình chiếu của \(B\) trên \(AC'\). 

Ta có \(AB \, \bot  \, \left( {BCC'B'} \right) \Rightarrow AB \,  \bot  \, BC' \Rightarrow \Delta ABC'\) vuông tại B.

Dễ thấy \(BC'\) là đường chéo của hình vuông cạnh \(a \Rightarrow BC' = a\sqrt 2 .\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC'\) có: 

\(\dfrac{1}{BK^{2}}=\dfrac{1}{BA^{2}}+\dfrac{1}{BC^{2}}\) \(=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{(a\sqrt{2})^{2}}=\dfrac{3}{2a^{2}}\)\( \Rightarrow BK=\dfrac{a\sqrt{6}}{3}.\) 

Ta có:

\(\Delta ABC' = \Delta C'CA = \Delta ADC' \)\(= \Delta AA'C' = \Delta C'B'A = \Delta C'D'A\)

\((c.g.c)\)

Do đó các chiều cao tương ứng của các tam giác này bằng nhau.

Vậy khoảng cách từ \(B, C, D, A', B', D'\) tới \(AC'\) đều bằng \( \dfrac{a\sqrt{6}}{3}\).

Loigiaihay.com