Bài 3 trang 113 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C'. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và A’B‘.

a) Chứng minh rằng EF // (BCC’B’).

b) Gọi I là giao điểm của đường thẳng CF với mặt phẳng (AC’B). Chứng minh rằng I là trung điểm đoạn thẳng CF.

Lời giải chi tiết

a) Gọi H là trung điểm của BC

Tam giác ABC có: E là trung điểm của AC

Suy ra EH // AB

Mà AB // A’B’

Do đó EH // A’B’ hay EH // B’F (1)

Ta có: EH // AB nên

Mà AB = A’B'',

Nên EH = B’F (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EHB’F là hình bình hành

Suy ra EF // B’H

Suy ra EF // (BCC’B’)

b) Gọi K là trung điểm AB

Dễ dàng chứng minh FKBB’ là hình bình hành

Ta có: FK // BB'

Mà BB' // CC'

Suy ra FK // CC' (1)

Ta có: FK = BB', mà BB' = CC'

Do đó: FK = CC' (2)

Từ (1) và (2) suy ra FKCC’ là hình bình hành

Suy ra C’K cắt CF tại trung điểm mỗi đường

Suy ra I là trung điểm của CF