Bài 29 trang 9 SBT Hình học 12 Nâng cao

Giải bài 29 trang 9 sách bài tập Hình học 12 Nâng cao. Cho khối lăng trụ ...

Quảng cáo

Đề bài

Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB bằng \(\sqrt 2 \). Cho biết mặt phẳng \(\left( {A{A_1}B} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\),\({\rm{A}}{{\rm{A}}_1} = \sqrt 3 \), góc \(\widehat {{A_1}AB}\) nhọn , góc giữa mặt phẳng \(\left( {{A_1}AC} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng 600. Hãy tính thể tích khối lăng trụ.

Lời giải chi tiết

Hạ \({A_1}K \bot AB\) ( với \(K \in AB)\) thì \({A_1}K \bot \left( {ABC} \right)\). Vì \(\widehat {{A_1}AB}\) nhọn nên K thuộc tia AB.

Kẻ \(KM \bot AC\) thì \({A_1}M \bot AC\) (định lí ba đường vuông góc ), do đó \(\widehat {{A_1}MK}\) = 600,

Giả sử \({A_1}K = x\), ta có :

\(\eqalign{  & AK = \sqrt {{A_1}{A^2} - {A_1}{K^2}}  = \sqrt {3 - {x^2}}  \cr} \)

\(MK = AK.\sin \widehat {KAM}\)

\(=\sqrt {3 - {x^2}} .\sin {45^0} = {{\sqrt 2 } \over 2}\sqrt {3 - {x^2}} .\)

Mặt khác, \(MK = {A_1}K.\cot {60^0} = {x \over {\sqrt 3 }},\) suy ra

\( {{\sqrt{2.\left( {3 - {x^2}} \right)} \over {2}}}  = {x \over {\sqrt 3 }} \Rightarrow x = {3 \over {\sqrt 5 }}.\)

Vậy \({V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = {S_{ABC}}.{A_1}K \)

\(= {1 \over 2}AC.CB.{A_1}K = {{3\sqrt 5 } \over {10}}\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo
list
close
Gửi bài