Bài 21 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 21 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB=c, BC=a, CA=b.\) Đặt

\(\overrightarrow u  = (\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} )\overrightarrow {CA}  + (\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} )\overrightarrow {AB}\)\(  + (\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {AB} )\overrightarrow {BC}  .\)

Chứng minh rằng

LG a

\(\overrightarrow u  =  - abc\left( {\cos B\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} + \cos C\dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \cos A\dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}} \right);\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = ca.\cos ({180^0} - B).\overrightarrow {CA}  + ab.\cos ({180^0} - C).\overrightarrow {AB}  + bc.\cos ({180^0} - A).\overrightarrow {BC} \\     =  - ca.\cos B.\overrightarrow {CA}  - ab.\cos C.\overrightarrow {AB}  - bc.\cos A.\overrightarrow {BC} \\     =  - abc\left( {\cos B\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} + \cos C\dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} + \cos A\dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}} \right).\end{array}\)

LG b

Nếu ABC là tam giác đều thì \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \);

Lời giải chi tiết:

Nếu tam giác \(ABC\) đều thì \(a=b=c,\) \(\cos A=\cos B=\cos C,\) từ đó suy ra \(\overrightarrow u  =  - {a^2}.\cos A.(\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} )\)\( = \overrightarrow 0 .\)

LG c

Nếu \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \) thì ABC là tam giác đều.

Lời giải chi tiết:

Nhân vô hướng vec tơ \(\overrightarrow u  = \overrightarrow 0 \) lần lượt với \(\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} ,  \dfrac{{\overrightarrow {AB} }}{c} ,  \dfrac{{\overrightarrow {BC} }}{a}\), ta có:\(\overrightarrow u .\dfrac{{\overrightarrow {CA} }}{b} = 0\), suy ra \(\cos B - 2\cos C.\cos A = 0\).

Tương tự ta có \(\cos C - 2\cos A.\cos B = 0 ;\)\( \cos A - 2\cos B.\cos C = 0\).

Rút \(\cos B\) từ đẳng thức đầu và thay vào đẳng thức thứ hai, ta có \(\cos C - 4{\cos ^2}A.\cos C = 0\) mà \(\cos C \ne 0\) ( vì nếu \(\cos C = 0\) thì \(\cos B = 0\), \(\widehat B = \widehat C = {90^0}\), vô lí) nên \({\cos ^2}A = \dfrac{1}{4}\) hay \(\cos A =  \pm \dfrac{1}{2}\). Vậy \(\widehat A = {60^0}\), hoặc \(\widehat A = {120^0}\).

Tương tự như vậy, góc \(C\) hoặc bằng \(60^0\) hoặc bằng \(120^0\). Vì tổng ba góc của tam giác bằng \(180^0\), nên chỉ có thể có \(\widehat A = \widehat B = \widehat C = {60^0}\). Vậy \(ABC\) là tam giác đều.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

close