Bài 23 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng caoGiải bài tập Bài 23 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao Quảng cáo
Đề bài Cho hình vuông \(ABCD\), điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(AM = \dfrac{{AC}}{4}\). Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC\). Chứng minh rằng \(BMN\) là tam giác vuông cân. Lời giải chi tiết
Đặt \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow a , \overrightarrow {AB} = \overrightarrow b .\) Khi đó, ta có \(\overrightarrow {AM} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC} = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a + \overrightarrow b ),\) \( \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} = \overrightarrow a + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}.\) Từ đó suy ra \(\begin{array}{l}\overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM}\\ = \overrightarrow b - \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a + \overrightarrow b )\\ = \dfrac{1}{4}( - \overrightarrow a + 3\overrightarrow b ).\\\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM}\\ = \overrightarrow a + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2} - \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a + \overrightarrow b ) \\= \dfrac{1}{4}(3\overrightarrow a + \overrightarrow b ).\end{array}\) Ta có \(\begin{array}{l}\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN}\\ = \dfrac{1}{{16}}( - \overrightarrow a + 3\overrightarrow b )(3\overrightarrow a + \overrightarrow b )\\= \dfrac{1}{{16}}\left( { - 3\overrightarrow a + 3\overrightarrow b + 8\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 0.\\{\overrightarrow {MB} ^2} = \dfrac{1}{{16}}( - \overrightarrow a + 3\overrightarrow b ) \\= \dfrac{1}{{16}}({\overrightarrow a ^2} + 9{\overrightarrow b ^2} - 6\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \dfrac{5}{8}{\overrightarrow a ^2}.\\{\overrightarrow {MN} ^2} = \dfrac{1}{{16}}{\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2}\\ = \dfrac{1}{{16}}\left( {9{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 6\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\\ = \dfrac{5}{8}{\overrightarrow a ^2}.\end{array}\) Vậy \(MB \bot MN\) và \(MB=MN\), tam giác \(BMN\) vuông cân tại đỉnh \(M.\) Loigiaihay.com
Quảng cáo
|