Bài 23 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài tập Bài 23 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao

Quảng cáo

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\), điểm \(M\) nằm trên đoạn thẳng \(AC\) sao cho \(AM = \dfrac{{AC}}{4}\). Gọi \(N\) là trung điểm của đoạn thẳng \(DC\). Chứng minh rằng \(BMN\) là tam giác vuông cân.

Lời giải chi tiết

 

Đặt \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow a  ,  \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b .\) Khi đó, ta có

\(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AC}  = \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ),\)

\(  \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DN}  = \overrightarrow a  + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}.\)

Từ đó suy ra

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AM}\\  = \overrightarrow b  - \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a  + \overrightarrow b )\\ = \dfrac{1}{4}( - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b ).\\\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {AN}  - \overrightarrow {AM}\\  = \overrightarrow a  + \dfrac{{\overrightarrow b }}{2} - \dfrac{1}{4}(\overrightarrow a  + \overrightarrow b ) \\= \dfrac{1}{4}(3\overrightarrow a  + \overrightarrow b ).\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MN}\\  = \dfrac{1}{{16}}( - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b )(3\overrightarrow a  + \overrightarrow b )\\= \dfrac{1}{{16}}\left( { - 3\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  + 8\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right) = 0.\\{\overrightarrow {MB} ^2} = \dfrac{1}{{16}}( - \overrightarrow a  + 3\overrightarrow b ) \\= \dfrac{1}{{16}}({\overrightarrow a ^2} + 9{\overrightarrow b ^2} - 6\overrightarrow a .\overrightarrow b ) = \dfrac{5}{8}{\overrightarrow a ^2}.\\{\overrightarrow {MN} ^2} = \dfrac{1}{{16}}{\left( {3\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2}\\ = \dfrac{1}{{16}}\left( {9{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 6\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right)\\ = \dfrac{5}{8}{\overrightarrow a ^2}.\end{array}\)

Vậy \(MB \bot MN\) và \(MB=MN\), tam giác \(BMN\) vuông cân tại đỉnh \(M.\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close