Bài 22 trang 41 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau tại \(M\). Gọi \(P\) là trung điểm đoạn thẳng \(AD\). Chứng minh rằng : \(MP \bot BC\) khi và chỉ khi \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} .\)

Lời giải chi tiết

(h.32).

\(\begin{array}{l}2\overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC}  = (\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MD} ).(\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} )\\= \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB} \\= \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} \end{array}\)

( Do \(AC \bot BD\) nên \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MD} .\overrightarrow {MC}  = 0\)).

Từ đó ta có

\(\begin{array}{l}MP \bot BC   \Leftrightarrow   \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {BC}  = 0\\\Leftrightarrow   \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MD} .\end{array}\)

Loigiaihay.com