Bài 20 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài 20 trang 8 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC và các điểm A_1, B_1, C_1 lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB...

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC và các điểm \(A_1, B_1, C_1\) lần lượt nằm trên các đường thẳng \(BC, CA, AB\). Gọi \(A_2, B_2, C_2\) lần lượt là các điểm đối xứng với \(A_1, B_1, C_1\) qua trung điểm  của \(BC, CA, AB\). Chứng minh rằng

a) Nếu ba điểm \(A_1, B_1, C_1\) thẳng hàng thì ba điểm \(A_2, B_2, C_2\) cũng thế;

b) Nếu ba đường thẳng \(AA_1, BB_1, CC_1\) đồng quy hoặc song song thì ba đường thẳng \(AA_2, BB_2, CC_2\) cũng thế.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng kết quả bài tập 19 trang 8 SBT Hình học nâng cao 10:

Cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(M, N, P\) lần lượt chia các đoạn thẳng \(AB, BC, CA\) theo các tỉ số lần lượt là \(m, n, p\) (đều khác 1). Khi đó,

a) \(M, N, P\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(mnp=1\) (Định lí Mê-nê-la-uýt);

b) \(AN, CM, BP\) đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi \(mnp=-1\) (Định lí Xê-va).

Lời giải chi tiết

Gọi \(k, l, m\) là các số sao cho \(\overrightarrow {{A_1}B}  = k\overrightarrow {{A_1}C};\) \(\overrightarrow {{B_1}C}  = l\overrightarrow {{B_1}A};\) \(\overrightarrow {{C_1}A}  = m\overrightarrow {{C_1}B} \).

Gọi D là trung điểm của BC ta có:

\({A_2}C = {A_2}D + DC\) \( = {A_1}D + DB = {A_1}B\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {A_2}C = {A_1}B\\
\Rightarrow {A_2}C - BC = {A_1}B - BC\\
\Rightarrow {A_1}C = {A_2}B
\end{array}\)

Mà \(\overrightarrow {{A_1}B}  = k\overrightarrow {{A_1}C}  \Rightarrow \overrightarrow {{A_2}C}  = k\overrightarrow {{A_2}B} \)

Tương tự \(\overrightarrow {{B_2}A}  = l\overrightarrow {{B_2}C} ,\overrightarrow {{C_2}B}  = m\overrightarrow {{C_2}A} \)

a) Ba điểm \({A_1},{B_1},{C_1}\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow klm = 1\)

\( \Leftrightarrow \) ba điểm \({A_2},{B_2},{C_2}\) thẳng hàng (định lí Mê-nê-la-uýt)

b) Ba đường thẳng \(A{A_1},B{B_1},C{C_1}\) đồng quy hoặc song song\( \Leftrightarrow klm = -1\)

\( \Leftrightarrow \) Ba đường thẳng \(A{A_2},B{B_2},C{C_2}\) đồng quy hoặc song song (định lí Xê-va)

Loigiaihay.com

  • Bài 21 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 21 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC,I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua I, lần lượt cắt hai đường thẳng CA và CB tại A’ và B’...

  • Bài 22 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 22 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho điểm O nằm trong hình bình hành ABCD. Các đường thẳng đi qua O và song song với các cạnh của hình bình hành lần lượt cắt AB, BC, CD, DA tại M, N, P, Q...

  • Bài 23 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài tập Bài 23 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng trọng tâm.

  • Bài 24 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 24 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh rằng...

  • Bài 25 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 25 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho hai điểm phân biệt A, B...

Quảng cáo
list
close
Gửi bài Hỏi bài