Bài 20 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho tam giác ABC và các điểm \(A_1, B_1, C_1\) lần lượt nằm trên các đường thẳng \(BC, CA, AB\). Gọi \(A_2, B_2, C_2\) lần lượt là các điểm đối xứng với \(A_1, B_1, C_1\) qua trung điểm  của \(BC, CA, AB\). Chứng minh rằng

a) Nếu ba điểm \(A_1, B_1, C_1\) thẳng hàng thì ba điểm \(A_2, B_2, C_2\) cũng thế;

b) Nếu ba đường thẳng \(AA_1, BB_1, CC_1\) đồng quy hoặc song song thì ba đường thẳng \(AA_2, BB_2, CC_2\) cũng thế.

Lời giải chi tiết

Gọi \(k, l, m\) là các số sao cho \(\overrightarrow {{A_1}B}  = k\overrightarrow {{A_1}C};\) \(\overrightarrow {{B_1}C}  = l\overrightarrow {{B_1}A};\) \(\overrightarrow {{C_1}A}  = m\overrightarrow {{C_1}B} \).

Gọi D là trung điểm của BC ta có:

\({A_2}C = {A_2}D + DC\) \( = {A_1}D + DB = {A_1}B\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {A_2}C = {A_1}B\\
\Rightarrow {A_2}C - BC = {A_1}B - BC\\
\Rightarrow {A_1}C = {A_2}B
\end{array}\)

Mà \(\overrightarrow {{A_1}B}  = k\overrightarrow {{A_1}C}  \Rightarrow \overrightarrow {{A_2}C}  = k\overrightarrow {{A_2}B} \)

Tương tự \(\overrightarrow {{B_2}A}  = l\overrightarrow {{B_2}C} ,\overrightarrow {{C_2}B}  = m\overrightarrow {{C_2}A} \)

a) Ba điểm \({A_1},{B_1},{C_1}\) thẳng hàng \( \Leftrightarrow klm = 1\)

\( \Leftrightarrow \) ba điểm \({A_2},{B_2},{C_2}\) thẳng hàng (định lí Mê-nê-la-uýt)

b) Ba đường thẳng \(A{A_1},B{B_1},C{C_1}\) đồng quy hoặc song song\( \Leftrightarrow klm = -1\)

\( \Leftrightarrow \) Ba đường thẳng \(A{A_2},B{B_2},C{C_2}\) đồng quy hoặc song song (định lí Xê-va)

Loigiaihay.com