Bài 24 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho hai hình bình hành \(ABCD\) và \(AB’C’D’\) có chung đỉnh \(A\). Chứng minh rằng

a) \(\overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {C'C}  + \overrightarrow {DD'}  = \overrightarrow 0 \);

b) Hai tam giác \(BC’D\) và \(B’CD’\) có cùng trọng tâm.

Lời giải chi tiết

a) Ta có

\(\eqalign{  & \,\,\,\,\,\overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {C'C}  + \overrightarrow {DD'}   \cr  &  = \overrightarrow {AB'}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AC'}  + \overrightarrow {AD'}  - \overrightarrow {AD}   \cr  &  = (\overrightarrow {AD'}  + \overrightarrow {AB'} ) - \overrightarrow {AC'}  - (\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} ) + \overrightarrow {AC}   \cr  &  = \overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AC'}  - \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AC}   \cr  &  = \overrightarrow 0  \cr} \)

b) Với điểm G bất kì, ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC'}  + \overrightarrow {GD}   \cr  &  = \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {B'B}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {GD'}  + \overrightarrow {D'D}   \cr  &  = \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD'}  + (\overrightarrow {B'B}  + \overrightarrow {CC'}  + \overrightarrow {D'D} )  \cr  &  = \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD'}  \cr} \)

Suy ra nếu G là trọng tâm tam giác BC'D thì:

\(\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC'}  + \overrightarrow {GD}  = \overrightarrow 0 \)

\(\Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD'}  = \overrightarrow 0 \)

Vậy trọng tâm hai tam giác \(BC’D\) và \(B’CD’\) trùng nhau.

Loigiaihay.com