Bài 29 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài 29 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC và trung tuyến AM. Một đường thẳng song song với AB cắt các đoạn thẳng AM, AC, BC lần lượt tại D, E, F...

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) và trung tuyến \(AM\). Một đường  thẳng song song với \(AB\) cắt các đoạn thẳng \(AM, AC, BC\) lần lượt tại \(D, E, F\). Một điểm \(G\) nằm trên cạnh \(AB\) sao cho \(FG//AC\). Chứng minh rằng hai tam giác \(ADE\) và \(BFG\) có diện tích bằng nhau.

Lời giải chi tiết

Ta đặt \(\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow a \,\,;\,\,\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow b \). \(\overrightarrow {CM}  = \dfrac{{\overrightarrow b }}{2}\).

Vì E nằm trên đoạn thẳng \(AC\) nên có số k sao cho \(\overrightarrow {CE}  = k\overrightarrow {CA}  = k\overrightarrow a \), với \(0<k<1\).

Khi đó \(\overrightarrow {CF}  = k\overrightarrow {CB}  = k\overrightarrow b \).

Điểm \(D\) nằm trên \(AM\) và \(EF\) nên có hai số \(x, y\) sao cho

\(\overrightarrow {CD}  = x\overrightarrow {CA}  + (1 - x)\overrightarrow {CM}\)

\(  = y\overrightarrow {CE}  + (1 - y)\overrightarrow {CF} \)

hay \(x\overrightarrow a  + \dfrac{{1 - x}}{2}\overrightarrow b  = ky\overrightarrow a  + k(1 - y)\overrightarrow b .\)

Vì hai vec tơ \(\overrightarrow a \,,\,\,\overrightarrow b \) không cùng phương nên \(x = ky\,,\,\,\dfrac{{1 - x}}{2} = k(1 - y)\).

Suy ra \(x=2k-1\), do đó \(\overrightarrow {CD}  = (2k - 1)\overrightarrow a  + (1 - k)\overrightarrow b \).

Ta có \(\overrightarrow {ED}  = \overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CE}\)

\(= (2k - 1)\overrightarrow a  + (1 - k)\overrightarrow b  - k\overrightarrow a\)

\(  = (1 - k)(\overrightarrow b  - \overrightarrow a ) = (1 - k)\overrightarrow {AB} \)

Vì \(\overrightarrow {CF}  = k\overrightarrow {CB} \) nên \(\overrightarrow {AG}  = k\overrightarrow {AB} \) hay \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BG}  = k\overrightarrow {AB} \), suy ra \((1 - k)\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {GB} \).

Do đó ED=GB.

Hai tam giác ADE và BFG có các cạnh đáy ED và GB bằng nhau, chiều cao bằng nhau (bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song) nên có diện tích bằng nhau.

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close