Bài 30 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài 30 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho hình thang ABCD với các cạnh đáy là AB và CD (các cạnh bên không song song). Chứng minh rằng nếu cho trước một điểm M nằm giữa hai điểm hai điểm A, D thì có một điểm N nằm trên cạnh BC sao cho AN//MC và DN//MB.

Quảng cáo

Đề bài

Cho hình thang \(ABCD\) với các cạnh đáy là \(AB\) và \(CD\) (các cạnh bên không song song). Chứng minh rằng nếu cho trước một điểm \(M\) nằm giữa hai điểm hai điểm \(A, D\) thì có một điểm \(N\) nằm trên cạnh \(BC\) sao cho \(AN//MC\) và \(DN//MB.\)

Lời giải chi tiết

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\).

Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a \,;\,\,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \,\,;\,\,\,\overrightarrow {OD}  = k\overrightarrow a \), khi đó \(\overrightarrow {OC}  = k\overrightarrow b \) (vì \(AB//CD\)). Giả sử \(\overrightarrow {OM}  = m\overrightarrow a \). Ta xác định điểm \(N\) trên \(BC\) sao cho \(AN//CM\). Ta chứng minh rằng \(DN//BM\).

Vì \(N\) nằm trên \(BC\) nên \(\overrightarrow {ON}  = n\overrightarrow b \). Khi đó

\(\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {ON}  - \overrightarrow {OA}  = n\overrightarrow b  - \overrightarrow a \)

Mặt khác \(\overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {OC}  = m\overrightarrow a  - k\overrightarrow b \).

Vì \(AN//CM\) nên hai vec tơ \(\overrightarrow {AN} \,,\,\,\overrightarrow {CM} \) cùng phương, tức là \(\dfrac{n}{{ - k}} = \dfrac{{ - 1}}{m}\) hay \(n = \dfrac{k}{m}\). 

Vậy \(\overrightarrow {ON}  = \dfrac{k}{m}\overrightarrow b \). Từ đó \(\overrightarrow {DN}  = \overrightarrow {ON}  - \overrightarrow {OD}  = \dfrac{k}{m}\overrightarrow b  - k\overrightarrow a \).

Lại có \(\overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {OB}\)

\(  = m\overrightarrow a  - \overrightarrow b\)

\(  =  - \dfrac{m}{k}\left( {\dfrac{k}{m}\overrightarrow b  - k\overrightarrow a } \right)\)

\(=  - \dfrac{m}{k}\overrightarrow {DN} \)

Vậy \(\overrightarrow {BM} \,,\,\,\overrightarrow {DN} \) cùng phương hay \(BM//DN.\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close