Bài 31 trang 10 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài 31 trang 10 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho...

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\). Lấy các điểm \(A’, B’, C’\) sao cho

\(\overrightarrow {A'B}  =  - 2\overrightarrow {A'C} ;\) \(\overrightarrow {B'C}  =  - 2\overrightarrow {B'A};\) \(\overrightarrow {C'A}  =  - 2\overrightarrow {C'B} \)

Đoạn thẳng \(AA’\) cắt các đoạn \(BB’\) và \(CC’\) lần lượt tại \(M\) và \(N\), hai đoạn \(BB’\) và \(CC’\) cắt nhau tại \(P\).

a) So sánh các đoạn thẳng \(AM, MN, NA’.\)

b) So sánh diện tích hai tam giác \(ABC, MNP.\)

Lời giải chi tiết

a) Đặt \(\overrightarrow {CA}  = \overrightarrow a \,\,;\,\,\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow b \). Theo giả thiết ta có:

\(\overrightarrow {CA'}  = \dfrac{{\overrightarrow {CB} }}{3} = \dfrac{{\overrightarrow b }}{3};\) \(\overrightarrow {CB'}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {CA}  = \dfrac{{2\overrightarrow a }}{3};\) \(\overrightarrow {CC'}  = \dfrac{{\overrightarrow {CA}  + 2\overrightarrow {CB} }}{3} = \dfrac{{\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b }}{3}\)

Vì \(M\) là giao điểm của \(AA’\) và \(BB’\) nên có các số \(x\) và \(y\) sao cho :

\(\overrightarrow {CM}  = x\overrightarrow {CA}  + (1 - x)\overrightarrow {CA'}\)

\(  = y\overrightarrow {CB}  + (1 - y)\overrightarrow {CB'} \),

hay

\(x\overrightarrow a  + (1 - x)\dfrac{{\overrightarrow b }}{3}\)

\(= y\overrightarrow b  + (1 - y)\dfrac{{2\overrightarrow a }}{3}\).

Vì hai vec tơ \(\overrightarrow a \,,\,\,\overrightarrow b \) không cùng phương nên từ đẳng thức trên ta suy ra

\(x = \dfrac{{2(1 - y)}}{3}\) và \(y = \dfrac{{1 - x}}{3}\).

Giaỉ ra ta được \(x = \dfrac{4}{7}\,,\,\,y = \dfrac{1}{7}\)

Từ đó ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {CM}  = \dfrac{4}{7}\overrightarrow {CA}  + \dfrac{3}{7}\overrightarrow {CA'} \\ \Rightarrow \dfrac{4}{7}\overrightarrow {MA}  + \dfrac{3}{7}\overrightarrow {MA'}  = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {MA}  =  - \dfrac{3}{4}\overrightarrow {MA'} \\\Rightarrow \,AM = \dfrac{3}{7}AA'\\\overrightarrow {CM}  = \dfrac{1}{7}\overrightarrow {CB}  + \dfrac{6}{7}\overrightarrow {CB'}\\  \Rightarrow \dfrac{1}{7}\overrightarrow {MB}  + \dfrac{6}{7}\overrightarrow {MB'}  = \overrightarrow 0 \\ \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  - 6\overrightarrow {MB'} \\\Rightarrow \,\,MB' = \dfrac{1}{7}BB'\end{array}\)

Tương tự với \(MB' = \dfrac{1}{7}BB'\) ta cũng  có \(NA' = \dfrac{1}{7}AA'\).

Vì \(AM = \dfrac{3}{7}AA'\) nên \(MN = \dfrac{3}{7}AA'\). Tóm lại, ta có \(AM=MN=3NA’.\)

Tương tự \(BP=PM=3MB’\) và \(CN=NP=3PC’.\)

b) Gọi \(S\) là diện tích tam giác \(ABC\). Từ giả thiết ta suy ra \(AB' = \dfrac{1}{3}AC,\) \(CA' = \dfrac{1}{3}CB,\) \(BC' = \dfrac{1}{3}BA\).

Vậy ta có \({S_{ABB'}} = {S_{BCC'}} = {S_{CAA'}} = \dfrac{1}{3}S\).

Trong tam giác ABB’, ta có \(MB' = \dfrac{1}{7}BB'\) nên \({S_{AB'M}} = \dfrac{1}{7}{S_{ABB'}} = \dfrac{1}{{21}}S\).

Tương tự: \({S_{AB'M}} = {S_{BC'P}} = {S_{CA'N}} = \dfrac{1}{{21}}S\).

Từ đó suy ra

\(\begin{array}{l}{S_{MNP}} = {S_{ABC}} - {S_{ABB'}} - {S_{BCC'}}\\ - {S_{CAA'}} + {S_{AB'M}} + {S_{BC'P}} + {S_{CA'N}}\\ = S - 3.\dfrac{S}{3} + 3.\dfrac{1}{{21}}S = \dfrac{1}{7}S\end{array}\)

Vậy \({S_{ABC}} = 7{S_{MNP}}\).

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close