Bài 35 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài 35 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC và đường thẳng d...

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) và đường thẳng \(d\). Tìm điểm \(M\) trên đường thẳng \(d\) sao cho vec tơ \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} \) có độ dài nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết

Với mọi điểm \(O\) ta có

\(\begin{array}{l}\overrightarrow u  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + 2\overrightarrow {MC} \\ = \overrightarrow {OA}  - \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OM}  \\+ 2(\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OM} )\\= \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  - 4\overrightarrow {OM} .\end{array}\)

Ta chọn điểm \(O\) sao cho \(\overrightarrow v  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + 2\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow 0 \).

(Chú ý rằng nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì

\(\overrightarrow v  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OC}\)

\(  = 3\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {OC} \)

\( = 4\overrightarrow {OG}  + \overrightarrow {GC} \). Bởi vậy để \(\overrightarrow v  = \overrightarrow 0 \), ta chọn điểm O sao cho \(\overrightarrow {GO}  = \dfrac{1}{4}\overrightarrow {GC} \)).

Khi đó, \(\overrightarrow u  =  - 4\overrightarrow {OM} \) và do đó \(|\overrightarrow u | = 4OM\). Độ dài vec tơ \(\overrightarrow u \) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(4OM\) nhỏ nhất hay \(M\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(d.\)

Loigiaihay.com

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close