Bài 38 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài 38 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC có trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng...

Quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(O\). Chứng minh rằng

a) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} \);

b) \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 2\overrightarrow {HO} \).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(B’\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(O\), ta có \(B'C \bot BC\). Vì \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên \(AH \bot BC\). Vậy \(AH//B’C.\)

Chứng minh tương tự ta có \(CH//B’A.\)

Vậy \(AB’CH\) là hình bình hành. Suy ra \(\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {B'C} \). Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC\) thì \(OD\) là đường trung bình của tam giác \(BB’C\) nên \(\overrightarrow {B'C}  = 2\overrightarrow {OD} \). Vậy \(\overrightarrow {AH}  = 2\overrightarrow {OD} \).

Từ đó, ta có

\(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HA}\)

\( = \overrightarrow {OH}  - \overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {OH}  - 2\overrightarrow {OD}\)

\(  = \overrightarrow {OH}  - (\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} ).\)

Suy ra \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} .\)

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì

\(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 3\overrightarrow {HG}\)

\(  = 3\overrightarrow {HO}  + 3\overrightarrow {OG} \)

\(= 3\overrightarrow {HO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} .\)

Kết hợp với kết quả của câu a), ta có

\(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 3\overrightarrow {HO}  + \overrightarrow {OH} \)

\(= 2\overrightarrow {HO} .\)

Loigiaihay.com

  • Bài 39 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 39 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho ba dây cung song song AA_1, BB_1, CC_1 của đường tròn (O). Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác ABC_1, BCA_1, CAB_1 nằm trên một đường thẳng.

  • Bài 40 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 40 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho n điểm A_1, A_2, …,A_n và n số k_1, k_2, …,k_n mà k_1+ k_2+ …+k_n =k khác 0...

  • Bài 41 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 41 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho sáu điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi Delta là một tam giác có ba đỉnh lấy trong sáu điểm đó và Delta ' là tam giác có ba đỉnh là ba điểm còn lại.

  • Bài 42 trang 12 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 42 trang 12 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho năm điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi Delta là một tam giác có ba đỉnh lấy trong năm điểm đó, hai điểm còn lại xác định một đoạn thẳng theta ...

  • Bài 37 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 37 trang 11 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC với các cạnh AB=c, BC=a, CA=b...

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close