Bài 38 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có trực tâm \(H\) và tâm đường tròn ngoại tiếp \(O\). Chứng minh rằng

a) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} \);

b) \(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 2\overrightarrow {HO} \).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(B’\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(O\), ta có \(B'C \bot BC\). Vì \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) nên \(AH \bot BC\). Vậy \(AH//B’C.\)

Chứng minh tương tự ta có \(CH//B’A.\)

Vậy \(AB’CH\) là hình bình hành. Suy ra \(\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {B'C} \). Gọi \(D\) là trung điểm của \(BC\) thì \(OD\) là đường trung bình của tam giác \(BB’C\) nên \(\overrightarrow {B'C}  = 2\overrightarrow {OD} \). Vậy \(\overrightarrow {AH}  = 2\overrightarrow {OD} \).

Từ đó, ta có

\(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {OH}  + \overrightarrow {HA}\)

\( = \overrightarrow {OH}  - \overrightarrow {AH}  = \overrightarrow {OH}  - 2\overrightarrow {OD}\)

\(  = \overrightarrow {OH}  - (\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} ).\)

Suy ra \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OH} .\)

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì

\(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 3\overrightarrow {HG}\)

\(  = 3\overrightarrow {HO}  + 3\overrightarrow {OG} \)

\(= 3\overrightarrow {HO}  + \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} .\)

Kết hợp với kết quả của câu a), ta có

\(\overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {HB}  + \overrightarrow {HC}  = 3\overrightarrow {HO}  + \overrightarrow {OH} \)

\(= 2\overrightarrow {HO} .\)

Loigiaihay.com