Bài 40 trang 11 SBT Hình học 10 Nâng cao

LG a

Chứng minh rằng có duy nhất một điểm \(G\) sao cho

\({k_1}\overrightarrow {G{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}}  = \overrightarrow 0 \).

Điểm \(G\) như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ  điểm \(A_i\), gắn với các hệ số \(k_i\). Trong trường hợp các hệ số \(k_i\) bằng nhau (và do đó có thể xem các \(k_i\) đều bằng 1), thì \(G\) gọi là trọng tân của hệ  điểm \(A_i\).

Lời giải chi tiết:

Ta lấy một điểm \(O\) nào đó thì

\(\begin{array}{l}{k_1}\overrightarrow {G{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {G{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {G{A_n}}  = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\,{k_1}(\overrightarrow {O{A_1}}  - \overrightarrow {OG} ) + {k_2}(\overrightarrow {O{A_2}}  - \overrightarrow {OG} ) \\+ ... + {k_n}(\overrightarrow {O{A_n}}  - \overrightarrow {OG} ) = \overrightarrow 0 \\ \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow {OG}  = \dfrac{1}{k}({k_1}\overrightarrow {O{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {O{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {O{A_n}} ).\end{array}\)

Vậy điểm \(G\) hoàn toàn xác định và duy nhất.

LG b

Chứng minh rằng nếu \(G\) là tâm tỉ cự nói ở câu a) thì với mọi điểm \(O\) bất kì, ta có

\(\overrightarrow {OG}  = \dfrac{1}{k}\left( {{k_1}\overrightarrow {O{A_1}}  + {k_2}\overrightarrow {O{A_2}}  + ... + {k_n}\overrightarrow {O{A_n}} } \right)\)

Lời giải chi tiết:

Từ câu a ta suy ra đpcm.

Loigiaihay.com