Bài 26 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho điểm \(O\) cố định và đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(A, B\) cố định. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng \(d\) khi và chỉ khi có số \(\alpha \) sao cho \(\overrightarrow {OM}  = \alpha \overrightarrow {OA}  + (1 - \alpha )\overrightarrow {OB} \).

Với điều kiện nào của \(\alpha \) thì \(M\) thuộc đoạn thẳng \(AB\)?

Lời giải chi tiết

Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {OM} = \alpha \overrightarrow {OA} + (1 - \alpha )\overrightarrow {OB} \,\, \cr 
& \Leftrightarrow \,\,\,\overrightarrow {OM} = \alpha (\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} ) + \overrightarrow {OB} \cr 
& \Leftrightarrow \overrightarrow {OM} - \overrightarrow {OB} = \alpha (\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OB} )\,\,\, \cr 
& \Leftrightarrow \overrightarrow {BM} = \alpha \overrightarrow {BA} \,\, \Leftrightarrow M \in d. \cr} \)

Vì \(\overrightarrow {BM}  = \alpha \overrightarrow {BA} \) nên \(M\) thuộc đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(0 \le \alpha  \le 1\).

Loigiaihay.com