Bài 23 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao

Đề bài

Cho ngũ giác \(ABCDE\). Gọi \(M, N, P, Q, R\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB, BC, CD, DE, EA\). Chứng minh rằng hai tam giác \(MPE\) và \(NQR\) có cùng trọng tâm.

Lời giải chi tiết

Với điểm \(G\) bất kì ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GP} + \overrightarrow {GE} \cr 
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} ) + \overrightarrow {GE} \cr 
& = {1 \over 2}(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {GD} + \overrightarrow {GE} ) + {1 \over 2}(\overrightarrow {GE} + \overrightarrow {GA} ) \cr 
& = \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GQ} + \overrightarrow {GR} \cr} \)

Do đó, nếu G là trọng tâm tam giác MPE thì \(\overrightarrow {GM}  + \overrightarrow {GP}  + \overrightarrow {GE}  = \overrightarrow 0\)

\(\Leftrightarrow \overrightarrow {GN}  + \overrightarrow {GQ}  + \overrightarrow {GR}  = \overrightarrow 0 \)

Suy ra trọng tâm hai tam giác \(MPE\) và \(NQR\) trùng nhau.

Loigiaihay.com