Bài 2 trang 69 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a) $- \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + ...$

b) $\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{64}} + ... + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} + ...$

Lời giải chi tiết

a) $- \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + ...$

Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu ${u_1} =  - \frac{1}{2}$ và công bội $q =  - \frac{1}{2}$ nên: $- \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + ... + {\left( { - \frac{1}{2}} \right)^n} + ... = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{{1 - \left( { - \frac{1}{2}} \right)}} =  - \frac{1}{3}$

b) $\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{64}} + ... + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} + ...$

Tổng trên là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu ${u_1} = \frac{1}{4}$ và công bội $q = \frac{1}{4}$ nên: $\frac{1}{4} + \frac{1}{{16}} + \frac{1}{{64}} + ... + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n} + ... = \frac{{\frac{1}{4}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3}$