Bài 19 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao

Giải bài 19 trang 8 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo các tỉ số lần lượt là m, n, p (đều khác 1). Chứng minh rằng

Quảng cáo
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho tam giác \(ABC\). Các điểm \(M, N, P\) lần lượt chia các đoạn thẳng \(AB, BC, CA\) theo các tỉ số lần lượt là \(m, n, p\) (đều khác 1). Chứng minh rằng

LG a

\(M, N, P\) thẳng hàng khi và chỉ khi \(mnp=1\) (Định lí Mê-nê-la-uýt);

Phương pháp giải:

Sử dụng kết quả bài tập 16 trang 8 SBT hình học 10 nâng cao:

Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k khác 1 thì với điểm O ta có: \(\overrightarrow {OM}  = \dfrac{{\overrightarrow {OA}  - k\overrightarrow {OB} }}{{1 - k}}\)

Lời giải chi tiết:

Lấy một điểm \(O\) nào đó ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {OM}  = {{\overrightarrow {OA}  - m\overrightarrow {OB} } \over {1 - m}}  \cr  & \overrightarrow {ON}  = {{\overrightarrow {OB}  - n\overrightarrow {OC} } \over {1 - n}}  \cr  & \overrightarrow {OP}  = {{\overrightarrow {OC}  - p\overrightarrow {OA} } \over {1 - p}} \cr} \)

Để đơn giản tính toán, ta chọn điểm O trùng với điểm C.

Khi đó ta có

\(\overrightarrow {CM}  = \dfrac{{\overrightarrow {CA}  - m\overrightarrow {CB} }}{{1 - m}};\) \(\overrightarrow {CN}  = \dfrac{{\overrightarrow {CB} }}{{1 - n}};\) \(\overrightarrow {CP}  = \dfrac{{ - p\overrightarrow {CA} }}{{1 - p}}\)                   (1)

Từ hai đẳng thức cuối của (1), ta có:

\(\overrightarrow {CB}  = (1 - n)\overrightarrow {CN} \,,\,\,\,\overrightarrow {CA}  = \dfrac{{p - 1}}{p}\overrightarrow {CP} \)

Và thay vào đẳng thức đầu của (1), ta được

\(\overrightarrow {CM}  = \dfrac{{p - 1}}{{p(1 - m)}}\overrightarrow {CP}  - \dfrac{{m(1 - n)}}{{1 - m}}\overrightarrow {CN} \)

Từ bài tập 15b) ta suy ra điều kiện cần và đủ để ba điểm \(M, N, P\) thẳng hàng là

\(\dfrac{{p - 1}}{{p(1 - m)}} - \dfrac{{m(1 - n)}}{{1 - m}} = 1\)

\(\Leftrightarrow \,\,p - 1 - pm(1 - n) = p(1 - m)\)

\(\Leftrightarrow \,\,mnp = 1.\)

LG b

\(AN, CM, BP\) đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi \(mnp=-1\) (Định lí Xê-va).

Lời giải chi tiết:

 (h.9).

Giả sử \(AN\) cắt \(BP\) tại \(I\) và giả sử \(I\) chia đoạn thẳng \(AN\) theo tỉ số \(x\).

Như vậy ba điểm \(P, I, B\) thẳng hàng và lần lượt nằm trên ba cạnh của tam giác \(CAN\).

Ta có \(P\) chia đoạn thẳng \(CA\) theo tỉ số \(p, I\) chia đoạn thẳng \(AN\) theo tỉ số \(x, B\) chia đoạn thẳng \(NC\) theo tỉ số \(\dfrac{n}{{n - 1}}\) suy ra từ giả thiết \(N\) chia đoạn \(BC\) theo tỉ số \(n\)).

Vậy theo định lí Mê-nê-la-uýt ta có \(p.x.\dfrac{n}{{n - 1}} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,x = \dfrac{{n - 1}}{{np}}\).

Giả sử \(AN\) cắt \(CM\) tại \(I’\) và \(I’\) chia \(AN\) theo tỉ số \(x’\).

Như vậy ba điểm \(I’, C, M\) thẳng hàng và lần lượt nằm trên ba cạnh của tam giác \(ANB\).

Ta có \(I’\) chia đoạn \(AN\) theo tỉ số \(x’, C\) chia đoạn \(NB\) theo tỉ số \(\dfrac{1}{{1 - n}}\), \(M\) chia đoạn \(BA\) theo tỉ số \(\dfrac{1}{m}\).

Vậy áp dụng định lí Mê-nê-la-uýt, ta có

\(x'.\dfrac{1}{{1 - n}}.\dfrac{1}{m} = 1\,\, \Leftrightarrow \,\,x' = m(1 - n).\)

Ba đường thẳng \(AN, BP, CM\) đồng quy khi và chỉ khi \(I\) trùng \(I’ \) hay \(x=x’\), có nghĩa là:

\(\dfrac{{n - 1}}{{np}} = m(1 - n)\,\, \Leftrightarrow \,\,mnp = 1\).

+) Xét trường hợp \(AN\) và \(BP\) song song (h.10).

Ta có

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {CN}  - \overrightarrow {CA}  = {1 \over {1 - n}}\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} \,;  \cr  & \overrightarrow {BP}  = \overrightarrow {CP}  - \overrightarrow {CB}  = {p \over {p - 1}}\overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {CB} \,;  \cr  & \overrightarrow {CM}  = {1 \over {1 - m}}\overrightarrow {CA}  - {m \over {1 - m}}\overrightarrow {CB} . \cr} \)

Do \(AN//BP\) nên

\(\dfrac{1}{{1 - n}}:( - 1)\, =  - 1:\dfrac{p}{{p - 1}}\)

\(\Leftrightarrow \,\,\dfrac{1}{{1 - n}} = \dfrac{{p - 1}}{p}\)

\(\Leftrightarrow \,\,p = (1 - n)(p - 1)\)

\(\Leftrightarrow \,\,\,np = n - 1.\)    (*)

Khi đó điều kiện cần và đủ để AN, BP, CM song song với nhau là \(\overrightarrow {CM} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AN} \).

Vì \(\overrightarrow {CM}  = \dfrac{{\overrightarrow {CA}  - m\overrightarrow {CB} }}{{1 - m}}\) nên \(\overrightarrow {CM} \) cùng phương với \(\overrightarrow {AN} \) khi và chỉ khi 

\(\dfrac{1}{{1 - n}}:( - m) =  - 1\)

\(\Leftrightarrow \,\,m(n - 1) =  - 1.\)   (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra \(mnp = -1\).

Loigiaihay.com

  • Bài 20 trang 8 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 20 trang 8 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC và các điểm A_1, B_1, C_1 lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB...

  • Bài 21 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 21 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho tam giác ABC,I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Một đường thẳng d thay đổi luôn đi qua I, lần lượt cắt hai đường thẳng CA và CB tại A’ và B’...

  • Bài 22 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 22 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho điểm O nằm trong hình bình hành ABCD. Các đường thẳng đi qua O và song song với các cạnh của hình bình hành lần lượt cắt AB, BC, CD, DA tại M, N, P, Q...

  • Bài 23 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài tập Bài 23 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho ngũ giác ABCDE. Gọi M, N, P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA. Chứng minh rằng hai tam giác MPE và NQR có cùng trọng tâm.

  • Bài 24 trang 9 SBT Hình học 10 Nâng cao

    Giải bài 24 trang 9 sách bài tập Hình học 10 Nâng cao. Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có chung đỉnh A. Chứng minh rằng...

Quảng cáo
list
close
Gửi bài Hỏi bài